Номер 164, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. При каком значении $a$ точки $A (2; -3)$, $B (4; 1)$ и $C(a; -2)$ лежат на одной прямой?

164. При каком значении $a$ точки $A(2; -3)$, $B(4; 1)$ и $C(a; -2)$ лежат на одной прямой?

Для того чтобы три точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы угловые коэффициенты прямых, проходящих через любые две пары этих точек, были равны. Воспользуемся этим свойством для точек $A(2; -3)$, $B(4; 1)$ и $C(a; -2)$. Угловой коэффициент прямой AB должен быть равен угловому коэффициенту прямой AC (или BC).

1. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A и B.

Формула для нахождения углового коэффициента $k$ прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, выглядит следующим образом:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Для точек $A(2; -3)$ и $B(4; 1)$ угловой коэффициент $k_{AB}$ будет равен:

$k_{AB} = \frac{1 - (-3)}{4 - 2} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

2. Выразим угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C.

Для точек $B(4; 1)$ и $C(a; -2)$ угловой коэффициент $k_{BC}$ будет равен:

$k_{BC} = \frac{-2 - 1}{a - 4} = \frac{-3}{a - 4}$

3. Приравняем угловые коэффициенты и найдем значение a.

Так как все три точки должны лежать на одной прямой, то $k_{AB} = k_{BC}$.

$2 = \frac{-3}{a - 4}$

Решим это уравнение относительно $a$. Предполагая, что $a \neq 4$ (иначе знаменатель равен нулю, что соответствует вертикальной прямой, а прямая AB не является вертикальной), умножим обе части на $(a - 4)$:

$2(a - 4) = -3$

$2a - 8 = -3$

$2a = 8 - 3$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2} = 2.5$

Таким образом, при $a = 2.5$ точки A, B и C будут лежать на одной прямой.

Ответ: $a = 2.5$