Номер 167, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки A (-5; -9) и B (1; 3).

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A(-5; -9)$ и $B(1; 3)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки A и B, есть множество всех точек плоскости, равноудаленных от точек A и B. Такое геометрическое место точек является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Пусть C(x, y) – произвольная точка, принадлежащая искомому геометрическому месту (центр окружности). Тогда расстояние от C до A должно быть равно расстоянию от C до B:

$CA = CB$

Для удобства вычислений возведем обе части равенства в квадрат, так как расстояния являются положительными величинами:

$CA^2 = CB^2$

Координаты заданных точек: A(−5; −9) и B(1; 3).

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадрат расстояния от точки C(x, y) до точки A(−5; −9):

$CA^2 = (x - (-5))^2 + (y - (-9))^2 = (x + 5)^2 + (y + 9)^2$

Квадрат расстояния от точки C(x, y) до точки B(1; 3):

$CB^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2$

Приравняем полученные выражения, так как $CA^2 = CB^2$:

$(x + 5)^2 + (y + 9)^2 = (x - 1)^2 + (y - 3)^2$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 10x + 25 + y^2 + 18y + 81 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9$

Сократим члены $x^2$ и $y^2$, так как они присутствуют в обеих частях уравнения:

$10x + 25 + 18y + 81 = -2x + 1 - 6y + 9$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$10x + 18y + 106 = -2x - 6y + 10$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в общем виде:

$(10x + 2x) + (18y + 6y) + (106 - 10) = 0$

$12x + 24y + 96 = 0$

Разделим все члены уравнения на их наибольший общий делитель, который равен 12, для упрощения:

$\frac{12x}{12} + \frac{24y}{12} + \frac{96}{12} = 0$

$x + 2y + 8 = 0$

Полученное линейное уравнение является уравнением прямой, которая и есть искомое геометрическое место центров окружностей.

Ответ: $x + 2y + 8 = 0$