Номер 165, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. Докажите, что окружность $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 13$ и прямая $x - y = -4$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

165. Докажите, что окружность $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 13$ и прямая $x - y = -4$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

Для решения задачи разделим ее на две части: сначала докажем, что окружность и прямая пересекаются, а затем найдем координаты точек их пересечения.

Чтобы доказать, что окружность и прямая пересекаются, необходимо найти расстояние от центра окружности до прямой и сравнить его с радиусом окружности. Если расстояние меньше радиуса, то прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Уравнение окружности: $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 13$.

Это уравнение вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $r$ — радиус.

Таким образом, центр окружности находится в точке $O(-4, 1)$, а ее радиус $r = \sqrt{13}$.

Уравнение прямой: $x - y = -4$. Приведем его к общему виду $Ax + By + C = 0$:

$x - y + 4 = 0$

Здесь коэффициенты $A = 1$, $B = -1$, $C = 4$.

Расстояние $d$ от центра окружности $O(x_0, y_0)$ до прямой вычисляется по формуле:

Подставляем значения:

$d = \frac{|1 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 - 1 + 4|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом $r = \sqrt{13}$. Для удобства сравним их квадраты:

$d^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$

$r^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

Поскольку $d^2 < r^2$ ($\frac{1}{2} < 13$), то и $d < r$.

Так как расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса, прямая пересекает окружность. Доказательство завершено.

Ответ: Прямая и окружность пересекаются, так как расстояние от центра окружности до прямой ($d = \frac{1}{\sqrt{2}}$) меньше радиуса окружности ($r = \sqrt{13}$).

Чтобы найти координаты точек пересечения, нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения окружности и уравнения прямой:

Из второго уравнения выразим $y$:

$y = x + 4$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(x + 4)^2 + ((x + 4) - 1)^2 = 13$

$(x + 4)^2 + (x + 3)^2 = 13$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x^2 + 8x + 16) + (x^2 + 6x + 9) = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + 14x + 25 = 13$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + 14x + 12 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 7x + 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а произведение равно $6$. Легко подобрать корни:

$x_1 = -1$

$x_2 = -6$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя уравнение $y = x + 4$.

При $x_1 = -1$:

$y_1 = -1 + 4 = 3$

Таким образом, первая точка пересечения — $(-1, 3)$.

При $x_2 = -6$:

$y_2 = -6 + 4 = -2$

Таким образом, вторая точка пересечения — $(-6, -2)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(-1, 3)$ и $(-6, -2)$.