Номер 156, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0;$

2) $x^2 + y^2 - 12x - 36 = 0.$

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0;$

2) $x^2 + y^2 - 12x - 36 = 0.$

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, необходимо привести его к этому каноническому виду с помощью метода выделения полного квадрата. Уравнение будет задавать окружность, если полученное значение $r^2$ будет положительным.

1) $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0$

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:
$(x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) - 10 = 0$

Теперь выделим полные квадраты для выражений в скобках, используя формулы сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для группы с $x$: $x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2=9$.
$x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x + 3)^2 - 9$

Для группы с $y$: $y^2 - 2y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $1^2=1$.
$y^2 - 2y = (y^2 - 2y + 1) - 1 = (y - 1)^2 - 1$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$((x + 3)^2 - 9) + ((y - 1)^2 - 1) - 10 = 0$
$(x + 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 - 10 = 0$
$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 - 20 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 20$

Мы привели уравнение к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Так как правая часть $20 > 0$, это уравнение действительно является уравнением окружности. Сравнивая его с каноническим видом, находим координаты центра и радиус:
Центр окружности $(a; b)$ соответствует точке $(-3; 1)$.
Квадрат радиуса $r^2 = 20$, откуда радиус $r = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: Координаты центра: $(-3; 1)$, радиус: $2\sqrt{5}$.

2) $x^2 + y^2 - 12x - 36 = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:
$(x^2 - 12x) + y^2 - 36 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Выражение с $y$ уже является полным квадратом, так как его можно записать как $(y - 0)^2$.
Для группы с $x$: $x^2 - 12x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $6^2=36$.
$x^2 - 12x = (x^2 - 12x + 36) - 36 = (x - 6)^2 - 36$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$((x - 6)^2 - 36) + y^2 - 36 = 0$
$(x - 6)^2 + y^2 - 36 - 36 = 0$
$(x - 6)^2 + y^2 - 72 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(x - 6)^2 + (y - 0)^2 = 72$

Мы привели уравнение к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Так как правая часть $72 > 0$, это уравнение является уравнением окружности.
Сравнивая его с каноническим видом, находим координаты центра и радиус:
Центр окружности $(a; b)$ соответствует точке $(6; 0)$.
Квадрат радиуса $r^2 = 72$, откуда радиус $r = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Ответ: Координаты центра: $(6; 0)$, радиус: $6\sqrt{2}$.