Номер 155, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $M$ (2; -3), центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 5.

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку M $(2; -3)$, центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 5.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности принадлежит оси абсцисс, следовательно, его вторая координата $y_0 = 0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $(x_0; 0)$. Радиус по условию равен $R = 5$.

Подставим эти данные в общее уравнение окружности:

$(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$(x - x_0)^2 + y^2 = 25$

Известно, что окружность проходит через точку $M(2; -3)$. Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим значения $x = 2$ и $y = -3$ в полученное уравнение, чтобы найти координату центра $x_0$:

$(2 - x_0)^2 + (-3)^2 = 25$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$(2 - x_0)^2 + 9 = 25$

$(2 - x_0)^2 = 25 - 9$

$(2 - x_0)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

1) $2 - x_0 = 4$

$-x_0 = 4 - 2$

$-x_0 = 2$

$x_0 = -2$

2) $2 - x_0 = -4$

$-x_0 = -4 - 2$

$-x_0 = -6$

$x_0 = 6$

Таким образом, мы получили две возможные абсциссы для центра окружности, а значит, существуют две окружности, удовлетворяющие заданным условиям. Составим уравнение для каждой из них.

Первая окружность:

Центр находится в точке $(-2; 0)$, радиус $R=5$. Уравнение окружности:

$(x - (-2))^2 + y^2 = 25$

$(x + 2)^2 + y^2 = 25$

Вторая окружность:

Центр находится в точке $(6; 0)$, радиус $R=5$. Уравнение окружности:

$(x - 6)^2 + y^2 = 25$

Ответ: $(x + 2)^2 + y^2 = 25$ или $(x - 6)^2 + y^2 = 25$.