Номер 148, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. Точки M $(5; -2)$, N $(3; 4)$ и P $(-3; -6)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

148. Точки M $(5; -2)$, N $(3; 4)$ и P $(-3; -6)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

Пусть вершины искомого треугольника имеют координаты A($x_A$, $y_A$), B($x_B$, $y_B$) и C($x_C$, $y_C$). Точки M(5; -2), N(3; 4) и P(-3; -6) являются серединами его сторон. Примем, что M – середина стороны AB, N – середина стороны BC, а P – середина стороны AC.

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов по формулам: $x_{сер} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_{сер} = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Используя эти формулы, составим систему уравнений для каждой координаты.

Для точки M(5; -2) как середины AB получаем:
$\frac{x_A + x_B}{2} = 5 \implies x_A + x_B = 10$ (1)
$\frac{y_A + y_B}{2} = -2 \implies y_A + y_B = -4$ (2)

Для точки N(3; 4) как середины BC:
$\frac{x_B + x_C}{2} = 3 \implies x_B + x_C = 6$ (3)
$\frac{y_B + y_C}{2} = 4 \implies y_B + y_C = 8$ (4)

Для точки P(-3; -6) как середины AC:
$\frac{x_A + x_C}{2} = -3 \implies x_A + x_C = -6$ (5)
$\frac{y_A + y_C}{2} = -6 \implies y_A + y_C = -12$ (6)

В результате мы получили две независимые системы уравнений: одну для абсцисс (координат x) и одну для ординат (координат y). Решим их по отдельности.

Решение для абсцисс
Система уравнений:
$\begin{cases} x_A + x_B = 10 \\ x_B + x_C = 6 \\ x_A + x_C = -6 \end{cases}$
Сложим все три уравнения: $(x_A + x_B) + (x_B + x_C) + (x_A + x_C) = 10 + 6 - 6$.
$2x_A + 2x_B + 2x_C = 10$
Разделим обе части на 2: $x_A + x_B + x_C = 5$.
Теперь найдем каждую координату, вычитая из полученного уравнения поочередно уравнения (1), (3) и (5):
$x_C = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_B) = 5 - 10 = -5$
$x_A = (x_A + x_B + x_C) - (x_B + x_C) = 5 - 6 = -1$
$x_B = (x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_C) = 5 - (-6) = 11$

Решение для ординат
Система уравнений:
$\begin{cases} y_A + y_B = -4 \\ y_B + y_C = 8 \\ y_A + y_C = -12 \end{cases}$
Сложим все три уравнения: $(y_A + y_B) + (y_B + y_C) + (y_A + y_C) = -4 + 8 - 12$.
$2y_A + 2y_B + 2y_C = -8$
Разделим обе части на 2: $y_A + y_B + y_C = -4$.
Аналогично находим координаты y:
$y_C = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_B) = -4 - (-4) = 0$
$y_A = (y_A + y_B + y_C) - (y_B + y_C) = -4 - 8 = -12$
$y_B = (y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_C) = -4 - (-12) = 8$

Таким образом, мы нашли координаты вершин треугольника: A(-1; -12), B(11; 8), C(-5; 0).

Ответ: Координаты вершин треугольника: (-1; -12), (11; 8), (-5; 0).