Номер 144, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

144. Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка $M(-6; 4)$.

144. Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка $M (-6; 4)$.

Пусть концы отрезка, назовем его AB, лежат на осях координат. Обозначим точку на оси абсцисс (Ox) как A, а точку на оси ординат (Oy) как B.Тогда их координаты имеют вид A($x_A$; 0) и B(0; $y_B$).

По условию, серединой отрезка AB является точка M с координатами (-6; 4). Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов:$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные значения в эти формулы, чтобы найти координаты точек A и B.Для координаты $x$:$-6 = \frac{x_A + 0}{2}$$x_A = -6 \cdot 2 = -12$

Для координаты $y$:$4 = \frac{0 + y_B}{2}$$y_B = 4 \cdot 2 = 8$

Таким образом, координаты концов отрезка: A(-12; 0) и B(0; 8).

Теперь найдем длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек A(-12; 0) и B(0; 8) в формулу:$L_{AB} = \sqrt{(0 - (-12))^2 + (8 - 0)^2}$$L_{AB} = \sqrt{(12)^2 + (8)^2}$$L_{AB} = \sqrt{144 + 64}$$L_{AB} = \sqrt{208}$

Упростим полученное значение, разложив подкоренное выражение на множители:$208 = 16 \cdot 13$$L_{AB} = \sqrt{16 \cdot 13} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{13} = 4\sqrt{13}$

Ответ: $4\sqrt{13}$