Номер 147, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. Найдите координаты вершины $B$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $A (0; -4)$ и $C (0; 2)$.

147. Найдите координаты вершины $B$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $A (0; -4)$ и $C (0; 2)$.

Пусть искомая вершина B имеет координаты $(x; y)$.

Поскольку треугольник ABC является равносторонним, все его стороны равны по длине: $AB = BC = AC$.

1. Сначала найдем длину стороны AC, используя координаты вершин $A (0; -4)$ и $C (0; 2)$. Формула для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ выглядит так:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Подставим координаты точек A и C:
$AC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{0^2 + (2 + 4)^2} = \sqrt{6^2} = 6$.

Так как треугольник равносторонний, то длины всех его сторон равны 6: $AB = BC = AC = 6$.

2. Теперь составим уравнения для длин сторон AB и BC, используя координаты точки $B(x; y)$.
Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - (-4))^2} = \sqrt{x^2 + (y + 4)^2}$.
Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{x^2 + (y - 2)^2}$.

3. Так как $AB = 6$ и $BC = 6$, мы можем возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня, и получить систему уравнений:
$AB^2 = x^2 + (y + 4)^2 = 36$
$BC^2 = x^2 + (y - 2)^2 = 36$
Получаем систему:
$\begin{cases} x^2 + (y+4)^2 = 36 \\ x^2 + (y-2)^2 = 36 \end{cases}$

4. Решим эту систему. Поскольку правые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:
$x^2 + (y + 4)^2 = x^2 + (y - 2)^2$
$(y + 4)^2 = (y - 2)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности:
$y^2 + 8y + 16 = y^2 - 4y + 4$
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а константы в другую:
$8y + 4y = 4 - 16$
$12y = -12$
$y = -1$

5. Теперь, зная координату $y$, найдем координату $x$, подставив $y = -1$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся вторым уравнением:
$x^2 + (-1 - 2)^2 = 36$
$x^2 + (-3)^2 = 36$
$x^2 + 9 = 36$
$x^2 = 36 - 9$
$x^2 = 27$
$x = \pm\sqrt{27} = \pm\sqrt{9 \cdot 3} = \pm 3\sqrt{3}$

Таким образом, мы получили две возможные точки для вершины B, которые симметричны относительно оси OY (на которой лежат точки A и C).

Ответ: $(3\sqrt{3}; -1)$ или $(-3\sqrt{3}; -1)$.