Номер 142, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (4; -1)$, $B (-2; 7)$, $D (-3; -8)$. Найдите координаты вершины $C$.

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (4; -1)$, $B (-2; 7)$, $D (-3; -8)$. Найдите координаты вершины $C$.

Для нахождения координат вершины C параллелограмма ABCD воспользуемся свойством, что диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Пусть точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Это означает, что точка O является серединой как отрезка AC, так и отрезка BD.

Пусть координаты искомой вершины C равны $(x_C; y_C)$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:
$x_{сер} = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_{сер} = \frac{y_1 + y_2}{2}$

1. Найдем координаты середины диагонали BD.
Даны координаты точек B(-2; 7) и D(-3; -8). Пусть O$(x_O; y_O)$ — середина BD.
$x_O = \frac{-2 + (-3)}{2} = \frac{-5}{2} = -2.5$
$y_O = \frac{7 + (-8)}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$
Таким образом, точка пересечения диагоналей O имеет координаты (-2.5; -0.5).

2. Найдем координаты вершины C.
Точка O(-2.5; -0.5) также является серединой диагонали AC. Даны координаты точки A(4; -1).
Используем формулы для середины отрезка AC:
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow -2.5 = \frac{4 + x_C}{2}$
$-5 = 4 + x_C$
$x_C = -5 - 4 = -9$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow -0.5 = \frac{-1 + y_C}{2}$
$-1 = -1 + y_C$
$y_C = -1 + 1 = 0$
Следовательно, координаты вершины C равны (-9; 0).

Ответ: C(-9; 0)