Номер 136, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Точки $B_1 (3; -1)$ и $C_1 (-4; 2)$ — середины сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $C$ имеет координаты $(-5; 3)$. Найдите координаты вершин $A$ и $B$.

136. Точки $B_1 (3; -1)$ и $C_1 (-4; 2)$ — середины сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $C$ имеет координаты $(-5; 3)$. Найдите координаты вершин $A$ и $B$.

Пусть координаты вершин треугольника $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$. По условию задачи даны координаты вершины $C(-5, 3)$, середины стороны $AC$ — точки $B_1(3, -1)$, и середины стороны $AB$ — точки $C_1(-4, 2)$.

Координаты $(x_m, y_m)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формулам:
$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, зная координаты другого конца и середины:
$x_2 = 2x_m - x_1$
$y_2 = 2y_m - y_1$

Координаты вершины A

Точка $B_1$ является серединой стороны $AC$. Используя выведенные выше формулы, найдем координаты точки $A$, зная координаты $C$ и $B_1$:
$x_A = 2x_{B_1} - x_C$
$y_A = 2y_{B_1} - y_C$

Подставим известные значения координат $B_1(3, -1)$ и $C(-5, 3)$:
$x_A = 2 \cdot 3 - (-5) = 6 + 5 = 11$
$y_A = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$

Таким образом, вершина $A$ имеет координаты $(11, -5)$.

Ответ: $A(11, -5)$.

Координаты вершины B

Аналогично, точка $C_1$ является серединой стороны $AB$. Найдем координаты точки $B$, зная координаты $A$ и $C_1$:
$x_B = 2x_{C_1} - x_A$
$y_B = 2y_{C_1} - y_A$

Подставим известные координаты точки $C_1(-4, 2)$ и найденные на предыдущем шаге координаты точки $A(11, -5)$:
$x_B = 2 \cdot (-4) - 11 = -8 - 11 = -19$
$y_B = 2 \cdot 2 - (-5) = 4 + 5 = 9$

Таким образом, вершина $B$ имеет координаты $(-19, 9)$.

Ответ: $B(-19, 9)$.