Номер 129, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Радиус круга равен 8 см. В нём проведена хорда, равная стороне квадрата, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

129. Радиус круга равен 8 см. В нём проведена хорда, равная стороне квадрата, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

Дано, что радиус круга $R = 8$ см. В круге проведена хорда, длина которой равна стороне вписанного в этот круг квадрата.

1. Найдем длину хорды.
Диагональ квадрата, вписанного в круг, равна диаметру этого круга. Диаметр $d = 2R = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Пусть сторона квадрата (и длина хорды) равна $a$. Связь между стороной квадрата и его диагональю выражается формулой $d = a\sqrt{2}$.
Отсюда можем найти $a$:
$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Найдем площадь меньшего сегмента.
Площадь сегмента вычисляется как разность площади сектора и площади треугольника, образованного хордой и двумя радиусами, проведенными к концам хорды.
Сначала найдем центральный угол $\alpha$, который стягивает данная хорда. Рассмотрим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными радиусу $R=8$ см, и основанием, равным хорде $a=8\sqrt{2}$ см. По теореме косинусов:
$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\alpha)$
$(8\sqrt{2})^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(\alpha)$
$128 = 64 + 64 - 128 \cos(\alpha)$
$128 = 128 - 128 \cos(\alpha)$
$128 \cos(\alpha) = 0$
$\cos(\alpha) = 0$, следовательно, центральный угол $\alpha = 90^\circ$.

Площадь сектора, соответствующего этому углу, равна:
$S_{сектор} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi (8)^2 = \frac{1}{4} \cdot 64\pi = 16\pi$ см².

Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, представляет собой площадь прямоугольного треугольника с катетами, равными радиусу:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R \cdot R = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ см².

Площадь меньшего сегмента $S_{м.сегмент}$ равна:
$S_{м.сегмент} = S_{сектор} - S_{\triangle} = 16\pi - 32$ см².

3. Найдем площадь большего сегмента.
Площадь всего круга $S_{круг}$ вычисляется по формуле:
$S_{круг} = \pi R^2 = \pi (8)^2 = 64\pi$ см².

Площадь большего сегмента $S_{б.сегмент}$ равна разности площади круга и площади меньшего сегмента:
$S_{б.сегмент} = S_{круг} - S_{м.сегмент} = 64\pi - (16\pi - 32) = 64\pi - 16\pi + 32 = 48\pi + 32$ см².

Ответ: $48\pi + 32$ см².