Номер 125, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 33 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 33

а

б

в

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 33 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 33

а

Прямоугольник с вершинами B, C, D, A. Сторона BC имеет отрезки длиной 5 и 3. Сторона CD имеет отрезки длиной 3 и 2. Внутри прямоугольника расположен круг с центром O и радиусом 2. В правом верхнем углу прямоугольника вырезана четверть круга.

б

Четырехугольник с вершинами A, B, C, D. Длины отрезков на сторонах, примыкающих к вершинам: у вершины A — 1 и 1; у вершины B — 2 и 3; у вершины C — 2 и 1; у вершины D — 1 и 3. В каждом углу четырехугольника вырезана четверть круга. Заштрихована центральная область.

в

Четыре круга с центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$, $O_4$. Каждый круг имеет радиус 3. Заштрихована область между четырьмя кругами.

а

Заштрихованная фигура представляет собой прямоугольник, из которого вырезаны круг и четверть круга. Чтобы найти её площадь, нужно из площади прямоугольника вычесть площади вырезанных частей.

1. Найдем площадь прямоугольника. Его стороны равны $5+3=8$ см и $3+2=5$ см.
$S_{прямоугольника} = 8 \times 5 = 40$ см².

2. Найдем площадь круга, который вырезан из прямоугольника. Его радиус $r = 2$ см.
$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$ см².

3. Найдем площадь четверти круга. Его радиус $R = 3$ см.
$S_{четверти \ круга} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \times 3^2 = \frac{9\pi}{4}$ см².

4. Теперь найдем площадь заштрихованной фигуры, вычитая из площади прямоугольника площади круга и четверти круга.
$S_{фигуры} = S_{прямоугольника} - S_{круга} - S_{четверти \ круга} = 40 - 4\pi - \frac{9\pi}{4}$
$S_{фигуры} = 40 - (\frac{16\pi}{4} + \frac{9\pi}{4}) = 40 - \frac{25\pi}{4}$ см².

Ответ: $40 - \frac{25\pi}{4}$ см².

б

Заштрихованная фигура — это четырехугольник, из углов которого вырезаны секторы кругов. Данные на рисунке противоречивы: для секторов в углах B и C указаны разные длины отрезков вдоль сторон ($2$ и $3$), в то время как для сектора круга они должны быть одинаковыми (равны радиусу).

Предположим, что в условии допущена опечатка, и на самом деле фигура ABCD — это прямоугольник, а числа на сторонах указывают на длины этих сторон и радиусы секторов. Пусть стороны прямоугольника равны $AD=4$ см и $AB=3$ см. Тогда его площадь $S_{ABCD} = 4 \times 3 = 12$ см².

Также предположим, что радиусы секторов в углах A, B, C и D равны $r_A=1$ см, $r_B=2$ см, $r_C=2$ см и $r_D=1$ см (выбирая наиболее правдоподобные значения из указанных на чертеже).

Поскольку углы прямоугольника прямые ($90^\circ$), каждый сектор представляет собой четверть круга. Суммарная площадь четырех секторов равна:
$S_{секторов} = \frac{1}{4}\pi r_A^2 + \frac{1}{4}\pi r_B^2 + \frac{1}{4}\pi r_C^2 + \frac{1}{4}\pi r_D^2$
$S_{секторов} = \frac{\pi}{4} (r_A^2 + r_B^2 + r_C^2 + r_D^2) = \frac{\pi}{4} (1^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2) = \frac{\pi}{4} (1 + 4 + 4 + 1) = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$ см².

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади прямоугольника и суммарной площади секторов:
$S_{фигуры} = S_{ABCD} - S_{секторов} = 12 - \frac{5\pi}{2}$ см².

Ответ: $12 - \frac{5\pi}{2}$ см² (при сделанных предположениях).

в

Заштрихованная фигура расположена между четырьмя одинаковыми касающимися друг друга окружностями. Чтобы найти её площадь, нужно из площади квадрата, образованного центрами окружностей, вычесть площади секторов этих окружностей, находящихся внутри квадрата.

1. Центры окружностей $O_1, O_2, O_3, O_4$ образуют квадрат. Радиус каждой окружности $r=3$ см. Сторона квадрата равна сумме радиусов двух соседних окружностей.
$a = r + r = 3 + 3 = 6$ см.

2. Найдем площадь этого квадрата.
$S_{квадрата} = a^2 = 6^2 = 36$ см².

3. В каждом углу квадрата находится сектор окружности. Углы квадрата прямые ($90^\circ$), поэтому каждый сектор — это четверть круга радиусом $r=3$ см. Внутри квадрата находятся четыре таких сектора.
Суммарная площадь четырех секторов равна площади одного целого круга радиусом $r=3$ см.
$S_{секторов} = 4 \times (\frac{1}{4} \pi r^2) = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi$ см².

4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади квадрата и суммарной площади четырех секторов.
$S_{фигуры} = S_{квадрата} - S_{секторов} = 36 - 9\pi$ см².

Ответ: $36 - 9\pi$ см².