Номер 118, страница 47 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику, если $\angle A = 40^\circ, AC = 10$ см.

118. На катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику, если $\angle A = 40^\circ$, $AC = 10$ см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, то есть $\angle C = 90^\circ$. Из условия задачи нам известно, что $\angle A = 40^\circ$ и катет $AC = 10$ см.

На катете $AC$ как на диаметре построена окружность. Центр этой окружности, обозначим его $O$, является серединой отрезка $AC$. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Эта окружность пересекает гипотенузу $AB$ в некоторой точке, назовем ее $D$. Дуга окружности, принадлежащая треугольнику, — это дуга $CD$. Для нахождения ее длины необходимо определить величину центрального угла $\angle COD$, который опирается на эту дугу.

Рассмотрим треугольник $AOD$. Стороны $OA$ и $OD$ являются радиусами окружности, следовательно, $OA = OD = R = 5$ см. Это означает, что треугольник $AOD$ — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AD$, значит $\angle ODA = \angle OAD$. Угол $\angle OAD$ совпадает с углом $\angle A$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle OAD = 40^\circ$. Следовательно, $\angle ODA = 40^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине $O$ в треугольнике $AOD$:

$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Точки $A$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой (диаметре), поэтому угол $\angle AOC$ является развернутым и равен $180^\circ$. Угол $\angle AOC$ состоит из двух смежных углов: $\angle AOD$ и $\angle COD$. Отсюда можем найти угол $\angle COD$:

$\angle COD = \angle AOC - \angle AOD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Теперь мы можем найти длину дуги $CD$, зная радиус $R$ и центральный угол $\alpha = \angle COD = 80^\circ$. Длина дуги вычисляется по формуле:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Подставим известные значения:

$L_{CD} = \frac{\pi \cdot 5 \cdot 80^\circ}{180^\circ} = \frac{400\pi}{180} = \frac{40\pi}{18} = \frac{20\pi}{9}$ см.

Ответ: $\frac{20\pi}{9}$ см.