Номер 124, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 6 см с хордой 8 см.

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса $6$ см с хордой $8$ см.

Пусть $R$ – радиус сектора, $L$ – длина его хорды. По условию, $R = 6$ см и $L = 8$ см.Пусть $O$ – центр круга, которому принадлежит сектор. Обозначим сектор как $AOB$, где $A$ и $B$ – точки на окружности. Тогда $OA = OB = R = 6$ см, а хорда $AB = L = 8$ см.

Пусть в этот сектор вписан круг с центром в точке $C$ и радиусом $r$. Этот круг касается радиусов $OA$ и $OB$ и дуги $AB$. Центр $C$ вписанного круга лежит на биссектрисе угла $\angle AOB$. Эта биссектриса также является высотой и медианой равнобедренного треугольника $\triangle AOB$, проведенной к основанию $AB$.

Проведем из точки $O$ высоту $OM$ к хорде $AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OMA$ катет $AM$ равен половине хорды: $AM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. Гипотенуза $OA$ равна радиусу сектора $R=6$ см.По теореме Пифагора найдем длину катета $OM$:
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Пусть $\angle AOM = \alpha$. Тогда $\angle AOB = 2\alpha$. Из треугольника $\triangle OMA$ найдем синус угла $\alpha$:
$\sin \alpha = \frac{AM}{OA} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Центр $C$ вписанного круга лежит на отрезке $OM$ (если его продлить до дуги). Расстояние от центра $C$ до радиуса $OA$ равно радиусу вписанного круга $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $O$, центром $C$ и точкой касания вписанного круга с радиусом $OA$. В этом треугольнике гипотенуза – это $OC$, а катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $r$.
Следовательно, $\sin \alpha = \frac{r}{OC}$.
Отсюда выразим расстояние $OC$:
$OC = \frac{r}{\sin \alpha} = \frac{r}{2/3} = \frac{3r}{2}$.

Вписанный круг касается дуги сектора в точке, лежащей на биссектрисе угла $\angle AOB$. Расстояние от центра $O$ до этой точки касания равно радиусу сектора $R$. С другой стороны, это расстояние равно сумме $OC$ и радиуса вписанного круга $r$.
$R = OC + r$
Подставим известные значения:
$6 = \frac{3r}{2} + r$
$6 = \frac{3r + 2r}{2}$
$6 = \frac{5r}{2}$
$r = \frac{6 \cdot 2}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Теперь найдем площадь вписанного круга по формуле $S = \pi r^2$:
$S = \pi \cdot (2.4)^2 = \pi \cdot 5.76 = 5.76\pi$ см².

Ответ: $5.76\pi$ см².