Номер 127, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 8 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $30^\circ$;

2) $225^\circ$.

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 8 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $30^\circ$;

2) $225^\circ$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегм}$) вычисляется по формуле, которая представляет собой разность площади соответствующего кругового сектора ($S_{сект}$) и площади треугольника ($S_{\triangle}$), образованного радиусами и хордой, стягивающей дугу: $S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha$, где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера дуги сегмента (или равный ей центральный угол). Из условия задачи известно, что радиус круга $R = 8$ см.

1) 30° В данном случае градусная мера дуги $\alpha = 30°$. Подставим известные значения в формулу: $S_{сегм} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 30^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin 30^\circ$. Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, выполним вычисления: $S_{сегм} = \frac{\pi \cdot 64 \cdot 30}{360} - \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = \frac{64\pi}{12} - \frac{64}{4} = \frac{16\pi}{3} - 16$. Вынесем общий множитель 16 за скобки для более компактной записи: $S_{сегм} = 16 \left( \frac{\pi}{3} - 1 \right)$ см$^2$. Ответ: $16 \left( \frac{\pi}{3} - 1 \right)$ см$^2$.

2) 225° В данном случае градусная мера дуги $\alpha = 225°$. Угол больше $180^\circ$, поэтому сегмент будет больше полукруга. Используем ту же формулу. $S_{сегм} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 225^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin 225^\circ$. Сначала найдем значение синуса для угла $225^\circ$. Используя формулы приведения: $\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь подставим все значения в формулу и произведем расчеты: $S_{сегм} = \frac{\pi \cdot 64 \cdot 225}{360} - \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Упростим отношение углов: $\frac{225}{360} = \frac{5 \cdot 45}{8 \cdot 45} = \frac{5}{8}$. $S_{сегм} = \pi \cdot 64 \cdot \frac{5}{8} - 32 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 40\pi + 16\sqrt{2}$. Вынесем общий множитель 8 за скобки: $S_{сегм} = 8(5\pi + 2\sqrt{2})$ см$^2$. Ответ: $8(5\pi + 2\sqrt{2})$ см$^2$.