Номер 133, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Вершинами треугольника являются точки A (-3; -2), B (-1; 3) и C (2; 0). Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

133. Вершинами треугольника являются точки $A (-3; -2)$, $B (-1; 3)$ и $C (2; 0)$. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Для того чтобы доказать, что треугольник является равнобедренным, необходимо показать, что длины двух его сторон равны. Найдем длины сторон треугольника ABC с вершинами в точках A(-3; -2), B(-1; 3) и C(2; 0), используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Найдем длину стороны AB.

Подставим координаты точек A(-3; -2) и B(-1; 3) в формулу:

$|AB| = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(-1 + 3)^2 + (3 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

2. Найдем длину стороны BC.

Подставим координаты точек B(-1; 3) и C(2; 0) в формулу:

$|BC| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{3^2 + 9} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

3. Найдем длину стороны AC.

Подставим координаты точек A(-3; -2) и C(2; 0) в формулу:

$|AC| = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(2 + 3)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$.

Сравнив вычисленные длины сторон, получаем: $|AB| = \sqrt{29}$, $|BC| = \sqrt{18}$, $|AC| = \sqrt{29}$.

Так как $|AB| = |AC| = \sqrt{29}$, то две стороны треугольника ABC равны. Следовательно, по определению, треугольник ABC является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным, так как длины его сторон AB и AC равны ($\sqrt{29}$).