Номер 132, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Докажите, что точки $A (-3; -7)$, $B (2; 3)$ и $C (0; -1)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

132. Докажите, что точки $A(-3; -7)$, $B(2; 3)$ и $C(0; -1)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

Для решения этой задачи можно использовать расстояния между точками. Три точки лежат на одной прямой в том и только в том случае, если длина самого большого из отрезков, соединяющих эти точки, равна сумме длин двух других отрезков.

Найдем расстояния между точками A(-3; -7), B(2; 3) и C(0; -1) по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Расстояние между точками A и B (длина отрезка AB):

$AB = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-7))^2} = \sqrt{(2 + 3)^2 + (3 + 7)^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

2. Расстояние между точками B и C (длина отрезка BC):

$BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

3. Расстояние между точками A и C (длина отрезка AC):

$AC = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-1 - (-7))^2} = \sqrt{(0 + 3)^2 + (-1 + 7)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Докажите, что точки A(-3; -7), B(2; 3) и C(0; -1) лежат на одной прямой.

Теперь проверим, выполняется ли условие для наших точек. Сравним сумму длин отрезков AC и BC с длиной отрезка AB:

$AC + BC = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Мы видим, что $AC + BC = AB$, так как $5\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Поскольку сумма длин двух отрезков равна длине третьего, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Точки лежат на одной прямой, так как выполняется равенство $AC + BC = AB$.

Какая из точек лежит между двумя другими?

Из равенства $AC + BC = AB$ следует, что именно точка C является общей точкой отрезков AC и BC и лежит на отрезке AB. Следовательно, точка C лежит между точками A и B.

Этот вывод можно также сделать, сравнив координаты точек. Абсциссы (координаты x) точек равны -3, 0 и 2. Так как $-3 < 0 < 2$, точка C находится между A и B по оси x. Ординаты (координаты y) равны -7, -1 и 3. Так как $-7 < -1 < 3$, точка C находится между A и B по оси y. Это подтверждает, что точка C лежит на отрезке AB.

Ответ: Точка C лежит между точками A и B.