Номер 126, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен $3\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

126. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен $3\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

Для решения задачи сначала найдем сторону правильного треугольника, зная радиус вписанной окружности. Затем вычислим площадь этого треугольника. После этого определим площадь той части треугольника, которая находится внутри полукруга. Наконец, вычтем эту площадь из общей площади треугольника, чтобы найти искомую площадь.

1. Нахождение стороны правильного треугольника

Связь между радиусом вписанной окружности $r$ и стороной правильного (равностороннего) треугольника $a$ выражается формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

По условию, $r = 3\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу и найдем сторону $a$:

$3\sqrt{3} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

$a = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18$ см.

2. Вычисление площади треугольника

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение $a = 18$ см:

$S_{\triangle} = \frac{18^2\sqrt{3}}{4} = \frac{324\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$ см².

3. Вычисление площади части треугольника, находящейся внутри полукруга

Полукруг построен на стороне треугольника как на диаметре. Диаметр полукруга равен стороне треугольника $d = a = 18$ см. Следовательно, радиус полукруга $R$ равен:

$R = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Пусть треугольник называется $ABC$, а полукруг построен на стороне $BC$. Центр полукруга $M$ является серединой стороны $BC$. Полукруг пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $E$ и $D$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $MDC$. $MC$ - половина стороны $BC$, поэтому $MC = R = 9$ см. $MD$ - также радиус полукруга, поэтому $MD = R = 9$ см. Таким образом, треугольник $MDC$ равнобедренный. Угол $C$ в правильном треугольнике $ABC$ равен $60°$. Равнобедренный треугольник, у которого угол при основании равен $60°$, является равносторонним. Следовательно, треугольник $MDC$ - равносторонний со стороной 9 см.

Аналогично, треугольник $BME$ является равносторонним со стороной 9 см.

Площадь каждого из этих малых равносторонних треугольников равна:

$S_{\triangle BME} = S_{\triangle MDC} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9^2\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

Углы $\angle BME$ и $\angle CMD$ как углы равносторонних треугольников равны $60°$. Угол $\angle BMC$ является развернутым и равен $180°$. Тогда угол сектора $EMD$ равен:

$\angle EMD = 180° - \angle BME - \angle CMD = 180° - 60° - 60° = 60°$.

Площадь сектора $EMD$ с радиусом $R=9$ и центральным углом $60°$ равна:

$S_{сектор} = \frac{60°}{360°} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi \cdot 9^2 = \frac{81\pi}{6} = \frac{27\pi}{2}$ см².

Площадь части треугольника, находящейся внутри полукруга, складывается из площадей двух равносторонних треугольников и площади сектора между ними:

$S_{внутри} = S_{\triangle BME} + S_{\triangle MDC} + S_{сектор} = \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{27\pi}{2} = \frac{162\sqrt{3}}{4} + \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2} + \frac{27\pi}{2}$ см².

4. Определение площади части треугольника, находящейся вне полукруга

Искомая площадь $S_{вне}$ равна разности общей площади треугольника $S_{\triangle}$ и площади его части, находящейся внутри полукруга $S_{внутри}$:

$S_{вне} = S_{\triangle} - S_{внутри} = 81\sqrt{3} - \left( \frac{81\sqrt{3}}{2} + \frac{27\pi}{2} \right)$

$S_{вне} = 81\sqrt{3} - \frac{81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2} = \frac{162\sqrt{3} - 81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$S_{вне} = \frac{27}{2}(3\sqrt{3} - \pi)$ см².

Ответ: $\frac{27}{2}(3\sqrt{3} - \pi)$ см².