Номер 119, страница 47 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. Окружность с центром $B$ касается стороны $AC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 70^\circ$.
Окружность с центром $B$ касается стороны $AC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

Для нахождения длины дуги окружности используется формула $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$, где $r$ — это радиус окружности, а $\alpha$ — это градусная мера центрального угла, на который опирается дуга.

1. Определение центрального угла.

Центром окружности по условию является вершина B треугольника. Дуга, которая принадлежит треугольнику, заключена между сторонами AB и BC. Следовательно, центральный угол $\alpha$, соответствующий этой дуге, равен углу при вершине B. Таким образом, $\alpha = \angle B = 70^\circ$.

2. Определение радиуса окружности.

Окружность с центром в B касается стороны AC. Это означает, что радиус окружности $r$ равен расстоянию от точки B до прямой AC. Это расстояние является длиной высоты BH, проведенной из вершины B к стороне AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (где H — точка касания на стороне AC, следовательно $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике известны:

• гипотенуза $AB = 6$ см
• острый угол $\angle A = 45^\circ$

Катет BH является искомым радиусом $r$. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$

Выразим отсюда радиус $r = BH$:

$r = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(45^\circ)$

Зная, что $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, находим радиус:

$r = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

3. Вычисление длины дуги.

Теперь, когда известны радиус $r = 3\sqrt{2}$ см и центральный угол $\alpha = 70^\circ$, подставим эти значения в формулу длины дуги:

$L = \frac{70}{360} \cdot 2\pi r = \frac{70}{360} \cdot 2\pi \cdot (3\sqrt{2})$

Упростим полученное выражение:

$L = \frac{7}{36} \cdot 6\pi\sqrt{2} = \frac{42\pi\sqrt{2}}{36} = \frac{7\pi\sqrt{2}}{6}$ см.

Ответ: $\frac{7\pi\sqrt{2}}{6}$ см.