Номер 130, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Радиус круга равен 6 см. По одну сторону от центра круга проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и квадрата, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

130. Радиус круга равен 6 см. По одну сторону от центра круга проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и квадрата, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

Для решения задачи выполним следующие шаги: сначала найдем длины данных хорд, затем вычислим площади сегментов, отсекаемых этими хордами, и, наконец, найдем разность этих площадей.

1. Нахождение длин хорд и их параметров

Радиус круга $R = 6$ см.
Длина стороны правильного треугольника ($a_3$), вписанного в круг, вычисляется по формуле $a_3 = R\sqrt{3}$.
Длина стороны квадрата ($a_4$), вписанного в круг, вычисляется по формуле $a_4 = R\sqrt{2}$.

Подставим значение $R=6$:
$a_3 = 6\sqrt{3}$ см.
$a_4 = 6\sqrt{2}$ см.

Более длинная хорда ($a_3$) расположена ближе к центру. Так как обе хорды находятся по одну сторону от центра, искомая площадь будет равна разности площадей сегментов, которые отсекают эти хорды.

2. Вычисление площади части круга между хордами

Площадь части круга, находящейся между хордами, равна разности площадей большего и меньшего сегментов ($S = S_{сегм3} - S_{сегм4}$).
Площадь сегмента вычисляется по формуле: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника}$.

Для хорды, равной стороне треугольника ($a_3$):
Центральный угол, стягиваемый этой хордой, равен $\alpha_3 = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.
Площадь соответствующего сектора: $S_{сектор3} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi (6^2) = 12\pi$ см$^2$.
Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой: $S_{\triangle3} = \frac{1}{2} R^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см$^2$.
Площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_3$: $S_{сегм3} = 12\pi - 9\sqrt{3}$ см$^2$.

Для хорды, равной стороне квадрата ($a_4$):
Центральный угол, стягиваемый этой хордой, равен $\alpha_4 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
Площадь соответствующего сектора: $S_{сектор4} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (6^2) = 9\pi$ см$^2$.
Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой: $S_{\triangle4} = \frac{1}{2} R^2 \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 1 = 18$ см$^2$.
Площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_4$: $S_{сегм4} = 9\pi - 18$ см$^2$.

Находим искомую площадь:
Площадь части круга между хордами равна разности площадей сегментов:
$S = S_{сегм3} - S_{сегм4} = (12\pi - 9\sqrt{3}) - (9\pi - 18) = 12\pi - 9\sqrt{3} - 9\pi + 18 = 3\pi + 18 - 9\sqrt{3}$.

Ответ: $3\pi + 18 - 9\sqrt{3}$ см$^2$.