Номер 137, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. В треугольнике ABC $A(3; -5)$, $M(7; 1)$, $C(-3; 9)$. Найдите среднюю линию MN треугольника ABC, где точки M и N — середины сторон AC и BC соответственно.

137. В треугольнике $ABC$ $A (3; -5)$, $B (7; 1)$, $C (-3; 9)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно.

В условии задачи даны координаты точек $A(3; -5)$, $M(7; 1)$ и $C(-3; 9)$, при этом указано, что точка $M$ является серединой стороны $AC$. Проверим это утверждение. Координаты середины отрезка $AC$ вычисляются по формулам:

$x_{\text{середины}} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_{\text{середины}} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Расчетные координаты середины стороны $AC$ равны $(0; 2)$, что не совпадает с данными в условии координатами точки $M(7; 1)$. Это указывает на опечатку в условии. Наиболее вероятным является предположение, что под точкой $M(7; 1)$ имелась в виду вершина треугольника $B$. Таким образом, будем решать задачу для треугольника с вершинами $A(3; -5)$, $B(7; 1)$ и $C(-3; 9)$.

Средняя линия $MN$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$. Для нахождения ее длины можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Нахождение координат точек M и N и вычисление расстояния между ними.

1. Найдем координаты точки M — середины стороны AC.

Используем формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = 0$

$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$

Таким образом, координаты точки $M$ — $(0; 2)$.

2. Найдем координаты точки N — середины стороны BC.

Используем те же формулы для точек $B(7; 1)$ и $C(-3; 9)$:

$x_N = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_N = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, координаты точки $N$ — $(2; 5)$.

3. Найдем длину средней линии MN.

Длина отрезка $MN$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$|MN| = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Способ 2: Использование свойства средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. В данном случае, $MN$ — средняя линия, соединяющая середины сторон $AC$ и $BC$, следовательно, она параллельна стороне $AB$ и ее длина равна половине длины $AB$.

$|MN| = \frac{1}{2}|AB|$

1. Найдем длину стороны AB.

Используем формулу расстояния для точек $A(3; -5)$ и $B(7; 1)$:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$

2. Найдем длину средней линии MN.

$|MN| = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{52} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 13} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{13}$.