Номер 143, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; 7)$, $B (2; -4)$, $C (5; 1)$ и $D (0; 12)$ является параллелограммом.

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; 7)$, $B (2; -4)$, $C (5; 1)$ и $D (0; 12)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, можно воспользоваться одним из его свойств. Например, четырехугольник является параллелограммом, если две его противоположные стороны равны и параллельны. В векторной форме это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам, должны быть равны. Проверим, выполняется ли равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(-3; 7)$ и конечной точки $B(2; -4)$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (2 - (-3); -4 - 7) = (5; -11)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$, зная координаты его начальной точки $D(0; 12)$ и конечной точки $C(5; 1)$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (5 - 0; 1 - 12) = (5; -11)$

Сравним полученные координаты векторов: $\vec{AB} = (5; -11)$ и $\vec{DC} = (5; -11)$.

Так как соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, то и сами векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов означает, что они коллинеарны (следовательно, отрезки $AB$ и $DC$ параллельны) и их длины равны. Поскольку у четырехугольника $ABCD$ две противолежащие стороны ($AB$ и $DC$) параллельны и равны по длине, он является параллелограммом по признаку.

Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.