Номер 139, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек A $(4; -5)$ и B $(2; 3)$.

139. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек $A (4; -5)$ и $B (2; 3)$.

Пусть искомая точка M, лежащая на оси ординат, имеет координаты $(0; y)$. По определению, любая точка на оси ординат имеет абсциссу (координату x), равную нулю.

Условие, что точка M равноудалена от точек $A(4; -5)$ и $B(2; 3)$, означает, что расстояние от M до A равно расстоянию от M до B. Математически это записывается как $MA = MB$.

Чтобы избежать работы с квадратными корнями, возведем обе части равенства в квадрат: $MA^2 = MB^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(0; y)$ и $A(4; -5)$:
$MA^2 = (4 - 0)^2 + (-5 - y)^2 = 4^2 + (-(5 + y))^2 = 16 + (5 + y)^2$.

Найдем квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(0; y)$ и $B(2; 3)$:
$MB^2 = (2 - 0)^2 + (3 - y)^2 = 2^2 + (3 - y)^2 = 4 + (3 - y)^2$.

Теперь приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$ и решим уравнение относительно $y$:
$16 + (5 + y)^2 = 4 + (3 - y)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$16 + (25 + 10y + y^2) = 4 + (9 - 6y + y^2)$
$41 + 10y + y^2 = 13 - 6y + y^2$

Член $y^2$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому он сокращается. Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$10y + 6y = 13 - 41$
$16y = -28$
$y = \frac{-28}{16}$

Сократим дробь на 4:
$y = -\frac{7}{4} = -1.75$

Следовательно, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; -1.75)$.

Ответ: $(0; -1.75)$