Номер 146, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-4; 2)$, $B (-3; 4)$, $C (-1; 3)$ и $D (-2; 1)$ является квадратом.

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-4; 2)$, $B(-3; 4)$, $C(-1; 3)$ и $D(-2; 1)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны между собой, и его диагонали также равны между собой.

Найдём длины сторон и диагоналей четырёхугольника, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Даны координаты вершин: A(-4; 2), B(-3; 4), C(-1; 3), D(-2; 1).

1. Вычислим длины сторон:
$AB = \sqrt{(-3 - (-4))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (3 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
$CD = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
$DA = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Все стороны равны: $AB = BC = CD = DA = \sqrt{5}$. Это означает, что четырёхугольник ABCD — ромб.

2. Вычислим длины диагоналей:
$AC = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$
$BD = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$

Диагонали равны: $AC = BD = \sqrt{10}$.

Поскольку четырёхугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, он является квадратом.

Ответ: Что и требовалось доказать.