Номер 145, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-4; 1)$, $B(-2; 3)$, $C(3; -2)$ и $D(1; -4)$ является прямоугольником.

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-4; 1)$, $B (-2; 3)$, $C (3; -2)$ и $D (1; -4)$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, можно использовать один из его признаков: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Таким образом, доказательство будет состоять из двух шагов:

1. Доказать, что ABCD — параллелограмм (проверив равенство противоположных сторон).
2. Доказать, что диагонали AC и BD равны.

Координаты вершин: A(-4; 1), B(-2; 3), C(3; -2), D(1; -4).

Для вычисления длин отрезков будем использовать формулу расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Найдем длины сторон четырехугольника

Вычислим длину каждой стороны:

• Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
• Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$.
• Длина стороны CD: $CD = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.
• Длина стороны AD: $AD = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50}$.

Так как противолежащие стороны попарно равны ($AB = CD = \sqrt{8}$ и $BC = AD = \sqrt{50}$), то по признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Найдем длины диагоналей

Теперь вычислим длины диагоналей AC и BD:

• Длина диагонали AC: $AC = \sqrt{(3 - (-4))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.
• Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

Так как диагонали равны ($AC = BD = \sqrt{58}$), а четырехугольник является параллелограммом, то ABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.