Номер 140, страница 49 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (2; 5)$ и $B (4; 1)$.

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (2; 5)$ и $B (4; 1)$.

Прямая, содержащая биссектрисы первого и третьего координатных углов, — это прямая, на которой для каждой точки абсцисса равна ординате. Уравнение этой прямой: $y = x$.

Пусть искомая точка $M$ лежит на этой прямой, тогда ее координаты можно записать как $M(x; x)$.

По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(2; 5)$ и $B(4; 1)$. Это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, или, что то же самое, квадраты этих расстояний равны: $MA^2 = MB^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния от точки $M(x; x)$ до точки $A(2; 5)$:

$MA^2 = (x - 2)^2 + (x - 5)^2$

Найдем квадрат расстояния от точки $M(x; x)$ до точки $B(4; 1)$:

$MB^2 = (x - 4)^2 + (x - 1)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x - 2)^2 + (x - 5)^2 = (x - 4)^2 + (x - 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 10x + 25) = (x^2 - 8x + 16) + (x^2 - 2x + 1)$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$2x^2 - 14x + 29 = 2x^2 - 10x + 17$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Вычтем $2x^2$ из обеих частей:

$-14x + 29 = -10x + 17$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$29 - 17 = -10x + 14x$

$12 = 4x$

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Таким образом, абсцисса искомой точки равна 3. Так как точка лежит на прямой $y = x$, ее ордината также равна 3. Координаты искомой точки — $(3; 3)$.

Ответ: $(3; 3)$