Номер 128, страница 48 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 6 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) 30°; 2) 240°.

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 6 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $30^\circ$

2) $240^\circ$

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) вычисляется как разность или сумма площади соответствующего кругового сектора ($S_{сектора}$) и площади треугольника ($S_{треуг}$), образованного радиусами и основанием сегмента (хордой).

$S_{сегмента} = S_{сектора} \pm S_{треуг}$

Если дуга сегмента меньше 180°, площадь сегмента равна разности площадей сектора и треугольника. Если дуга больше 180°, то площади складываются.

Основание сегмента — это хорда $c = 6$ см. Пусть $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги (центральный угол). Связь между ними можно найти через прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и перпендикуляром из центра на хорду:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{c/2}{R}$, откуда $R = \frac{c/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

1) Градусная мера дуги равна $30°$.

Так как дуга меньше 180°, площадь сегмента будет разностью площадей.

Шаг 1: Найдем радиус окружности R.
Центральный угол $\alpha = 30°$. Длина хорды $c = 6$ см. $R = \frac{c/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{6/2}{\sin(\frac{30°}{2})} = \frac{3}{\sin(15°)}$.
Найдем значение $\sin(15°)$ по формуле разности углов:
$\sin(15°) = \sin(45° - 30°) = \sin(45°)\cos(30°) - \cos(45°)\sin(30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Тогда радиус: $R = \frac{3}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6} + \sqrt{2})$:
$R = \frac{12(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{12(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2})$ см.
Найдем квадрат радиуса: $R^2 = (3(\sqrt{6} + \sqrt{2}))^2 = 9(6 + 2\sqrt{12} + 2) = 9(8 + 4\sqrt{3}) = 36(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Шаг 2: Найдем площадь сектора и треугольника.
Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°} = \frac{\pi \cdot 36(2 + \sqrt{3}) \cdot 30°}{360°} = \frac{\pi \cdot 36(2 + \sqrt{3})}{12} = 3\pi(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.
Площадь треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2}R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 36(2 + \sqrt{3}) \cdot \sin(30°) = 18(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} = 9(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Шаг 3: Найдем площадь сегмента.
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг} = 3\pi(2 + \sqrt{3}) - 9(2 + \sqrt{3}) = (3\pi - 9)(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $(3\pi - 9)(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

2) Градусная мера дуги равна $240°$.

Так как дуга больше 180°, это большой сегмент. Его площадь равна сумме площади сектора с углом $240°$ и площади треугольника, образованного хордой и радиусами. Центральный угол, соответствующий хорде внутри треугольника, будет $360° - 240° = 120°$. Обозначим его $\beta = 120°$.

Шаг 1: Найдем радиус окружности R.
Используем угол $\beta = 120°$ и хорду $c = 6$ см.
$R = \frac{c/2}{\sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{6/2}{\sin(\frac{120°}{2})} = \frac{3}{\sin(60°)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Квадрат радиуса: $R^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12$ см$^2$.

Шаг 2: Найдем площадь сектора и треугольника.
Площадь сектора, соответствующего дуге $\alpha = 240°$:
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°} = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 240°}{360°} = \frac{12\pi \cdot 2}{3} = 8\pi$ см$^2$.
Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой (с углом $\beta = 120°$ между радиусами):
$S_{треуг} = \frac{1}{2}R^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sin(120°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см$^2$.

Шаг 3: Найдем площадь сегмента.
Так как дуга больше 180°, площадь сегмента равна сумме площадей сектора и треугольника.
$S_{сегмента} = S_{сектора} + S_{треуг} = 8\pi + 3\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $(8\pi + 3\sqrt{3})$ см$^2$.