Номер 177, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. В ромбе $ABCD$ $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{BD}|$;

2) $|\vec{AO}|$;

3) $|\vec{DO}|$.

177. В ромбе $ABCD$ $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $O$ – точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{BD}|$;

2) $|\vec{AO}|$;

3) $|\vec{DO}|$.

По условию задачи, $ABCD$ — ромб, его сторона $AB = 10$ см, а диагональ $AC = 12$ см. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$.
Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами ромба:

• Все стороны ромба равны.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Из этих свойств следует, что треугольник $AOB$ является прямоугольным ($\angle AOB = 90^\circ$), где $AB$ — гипотенуза, а $AO$ и $BO$ — катеты.

Сначала найдем длины отрезков $AO$ и $BO$.
Так как диагонали делятся точкой пересечения пополам, отрезок $AO$ равен половине диагонали $AC$:
$AO = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Теперь в прямоугольном треугольнике $AOB$ нам известны гипотенуза $AB = 10$ см и катет $AO = 6$ см. По теореме Пифагора ($AB^2 = AO^2 + BO^2$) найдем второй катет $BO$:
$BO^2 = AB^2 - AO^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
$BO = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь, зная длины $AO$ и $BO$, можем найти требуемые величины.

1) $|\vec{BD}|$
Длина вектора $|\vec{BD}|$ равна длине диагонали $BD$. Поскольку точка $O$ делит диагональ $BD$ пополам, то $BD = 2 \cdot BO$.
$|\vec{BD}| = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Ответ: 16 см.

2) $|\vec{AO}|$
Длина вектора $|\vec{AO}|$ равна длине отрезка $AO$, которую мы уже вычислили.
$|\vec{AO}| = 6$ см.
Ответ: 6 см.

3) $|\vec{DO}|$
Длина вектора $|\vec{DO}|$ равна длине отрезка $DO$. Так как точка $O$ — середина диагонали $BD$, то $DO = BO$.
$|\vec{DO}| = 8$ см.
Ответ: 8 см.