Номер 183, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (4; -5)$, $B (2; 3)$, $D (-3; -4)$. Найдите координаты вершины $C$.

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$:

$A (4; -5)$, $B (2; 3)$, $D (-3; -4)$. Найдите координаты вершины $C$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма $ABCD$ воспользуемся одним из его основных свойств: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают.

Пусть искомые координаты вершины $C$ будут $(x_C; y_C)$.
Даны координаты вершин: $A(4; -5)$, $B(2; 3)$, $D(-3; -4)$.

Обозначим точку пересечения диагоналей как $O(x_O; y_O)$. Найдем ее координаты, используя формулу для координат середины отрезка. Так как $O$ — середина диагонали $BD$, ее координаты равны:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{2 + (-3)}{2} = \frac{-1}{2}$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{3 + (-4)}{2} = \frac{-1}{2}$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(-0.5; -0.5)$.

Точка $O$ также является серединой диагонали $AC$. Запишем уравнения для координат середины отрезка $AC$, используя координаты точек $A(4; -5)$ и $O(-0.5; -0.5)$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \implies -0.5 = \frac{4 + x_C}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \implies -0.5 = \frac{-5 + y_C}{2}$

Теперь решим полученные уравнения, чтобы найти $x_C$ и $y_C$.

Из первого уравнения находим $x_C$:

$-0.5 \cdot 2 = 4 + x_C$

$-1 = 4 + x_C$

$x_C = -1 - 4 = -5$

Из второго уравнения находим $y_C$:

$-0.5 \cdot 2 = -5 + y_C$

$-1 = -5 + y_C$

$y_C = -1 + 5 = 4$

Следовательно, координаты вершины $C$ равны $(-5; 4)$.

Ответ: $C(-5; 4)$.