Номер 192, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{CD}$;

2) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA}$;

3) $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{DB}$.

192. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD};$

2) $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA};$

3) $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{DB}.$

Для решения данных задач будем использовать правила действий с векторами (правило треугольника, правило параллелограмма) и свойства векторов в параллелограмме.

Основные свойства, которые нам понадобятся:

• Правило замены вычитания: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.
• Противоположный вектор: $-\vec{PQ} = \vec{QP}$.
• Правило треугольника (сложение векторов): $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$.
• Для параллелограмма $ABCD$: $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BC} = \vec{AD}$, $\vec{BA} = \vec{CD}$, $\vec{CB} = \vec{DA}$.
• Сумма векторов, образующих замкнутый контур, равна нулевому вектору: $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}$.

1) $\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD}$

Преобразуем выражение, заменив вычитание на сложение с противоположными векторами:

$\vec{AB} - \vec{DB} - \vec{CD} = \vec{AB} + \vec{BD} + \vec{DC}$

Теперь последовательно применим правило треугольника для сложения векторов:

Сначала сложим первые два вектора: $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$.

Полученное выражение: $(\vec{AB} + \vec{BD}) + \vec{DC} = \vec{AD} + \vec{DC}$.

Снова применяем правило треугольника: $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$.

Ответ: $\vec{AC}$

2) $\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA}$

Заменим вычитание на сложение с противоположным вектором:

$\vec{AB} - \vec{CB} + \vec{CA} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}$

Это выражение представляет собой сумму векторов, образующих замкнутый треугольник $ABC$. По правилу сложения векторов:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Подставим это в выражение:

$(\vec{AB} + \vec{BC}) + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA}$.

Сумма противоположных векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ равна нулевому вектору:

$\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}$.

Ответ: $\vec{0}$

3) $\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{DB}$

Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными:

$\vec{CB} + \vec{CD} - \vec{BA} - \vec{DB} = \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{AB} + \vec{BD}$

Перегруппируем слагаемые для удобного применения правила треугольника:

$(\vec{AB} + \vec{BD}) + \vec{CB} + \vec{CD}$

Выполним сложение в скобках: $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$.

Выражение примет вид: $\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{CD}$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то векторы его противоположных сторон равны: $\vec{CB} = \vec{DA}$. Заменим $\vec{CB}$ на $\vec{DA}$ в выражении:

$\vec{AD} + \vec{DA} + \vec{CD}$

Сумма противоположных векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DA}$ равна нулевому вектору: $\vec{AD} + \vec{DA} = \vec{0}$.

Таким образом, получаем:

$\vec{0} + \vec{CD} = \vec{CD}$.

Ответ: $\vec{CD}$