Номер 198, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Даны векторы $\vec{m}(-2; 4)$, $\vec{n}(3; 1)$, $\vec{k}(x; -1)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$.

198. Даны векторы $\vec{m}(-2; 4)$, $\vec{n}(3; 1)$, $\vec{k}(x; -1)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\left|\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}\right|$.

Для того чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$, сначала найдем координаты этого результирующего вектора. Обозначим его как $\vec{a}$.

$\vec{a} = \vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$

Координаты вектора $\vec{a}$ вычисляются как разность соответствующих координат данных векторов:

$\vec{a} = ((-2) - 3 - x; 4 - 1 - (-1))$

$\vec{a} = (-5 - x; 4 - 1 + 1)$

$\vec{a} = (-5 - x; 4)$

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$. Модуль вектора с координатами $(a_x; a_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

$|\vec{a}| = |\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}| = \sqrt{(-5 - x)^2 + 4^2}$

$|\vec{a}| = \sqrt{((-1)(5+x))^2 + 16}$

$|\vec{a}| = \sqrt{(5+x)^2 + 16}$

Чтобы найти наименьшее значение модуля, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $(5+x)^2 + 16$.

Выражение $(5+x)^2$ представляет собой квадрат числа, и его наименьшее значение равно 0. Это значение достигается, когда выражение в скобках равно нулю:

$5 + x = 0$

$x = -5$

При $x = -5$ подкоренное выражение принимает свое минимальное значение:

$(5 + (-5))^2 + 16 = 0^2 + 16 = 16$

Следовательно, наименьшее значение модуля вектора равно корню из этого значения:

$|\vec{a}|_{min} = \sqrt{16} = 4$

Ответ: 4