Номер 196, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Найдите координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если их сумма имеет координаты $(-4; 5)$, а разность — $(3; 7)$.

196. Найдите координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если их сумма имеет координаты $(-4; 5)$, а разность — $(3; 7)$.

Пусть искомые векторы имеют координаты $\vec{a} = (x_a; y_a)$ и $\vec{b} = (x_b; y_b)$.

Согласно условию, сумма векторов $\vec{a} + \vec{b}$ имеет координаты $(-4; 5)$, а разность $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $(3; 7)$. Это можно записать в виде системы уравнений для координат:

Для координат по оси X:

$x_a + x_b = -4$

$x_a - x_b = 3$

Для координат по оси Y:

$y_a + y_b = 5$

$y_a - y_b = 7$

Решим эти две системы уравнений.

Сначала найдем x-координаты. Сложим два уравнения для $x$:

$(x_a + x_b) + (x_a - x_b) = -4 + 3$

$2x_a = -1$

$x_a = -0,5$

Подставим найденное значение $x_a$ в первое уравнение:

$-0,5 + x_b = -4$

$x_b = -4 + 0,5 = -3,5$

Теперь найдем y-координаты. Сложим два уравнения для $y$:

$(y_a + y_b) + (y_a - y_b) = 5 + 7$

$2y_a = 12$

$y_a = 6$

Подставим найденное значение $y_a$ в первое уравнение:

$6 + y_b = 5$

$y_b = 5 - 6 = -1$

Таким образом, координаты векторов: $\vec{a} = (-0,5; 6)$ и $\vec{b} = (-3,5; -1)$.

Альтернативный способ (через векторные уравнения):

Запишем условия в виде системы векторных уравнений:

$\begin{cases} \vec{a} + \vec{b} = (-4; 5) \\ \vec{a} - \vec{b} = (3; 7) \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{b}) = (-4; 5) + (3; 7)$

$2\vec{a} = (-1; 12)$, откуда $\vec{a} = (-0,5; 6)$.

Вычтем из первого уравнения второе:

$(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b}) = (-4; 5) - (3; 7)$

$2\vec{b} = (-7; -2)$, откуда $\vec{b} = (-3,5; -1)$.

Ответ: $\vec{a} = (-0,5; 6)$, $\vec{b} = (-3,5; -1)$.