Номер 197, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 41). Выразите векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ через векторы $\vec{AO} = \vec{m}$ и $\vec{OD} = \vec{n}$.

Рис. 41

197. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 41). Выразите векторы $\overline{AB}$ и $\overline{BC}$ через векторы $\overline{AO} = \overline{m}$ и $\overline{OD} = \overline{n}$.

Рис. 41

Поскольку четырёхугольник ABCD является параллелограммом, его диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Это основное свойство параллелограмма, которое мы будем использовать для решения задачи.

Из того, что точка O — середина диагоналей, следуют следующие векторные равенства:
$\vec{AO} = \vec{OC}$
$\vec{BO} = \vec{OD}$

В условии задачи дано, что $\vec{AO} = \vec{m}$ и $\vec{OD} = \vec{n}$. Используя эти данные и свойства диагоналей, найдём векторы, составляющие стороны треугольников AOB и BOC:
$\vec{OC} = \vec{AO} = \vec{m}$
$\vec{BO} = \vec{OD} = \vec{n}$
Вектор $\vec{OB}$ направлен в противоположную сторону по отношению к вектору $\vec{BO}$, поэтому $\vec{OB} = -\vec{BO} = -\vec{n}$.

Теперь, когда все необходимые векторы выражены через $\vec{m}$ и $\vec{n}$, мы можем найти векторы сторон параллелограмма $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, используя правило сложения векторов (правило треугольника).

Выражение вектора $\vec{AB}$
Рассмотрим треугольник AOB. По правилу треугольника, вектор $\vec{AB}$ является суммой векторов $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$:
$\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}$
Подставим в это равенство известные нам выражения для векторов $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$:
$\vec{AB} = \vec{m} + (-\vec{n})$
$\vec{AB} = \vec{m} - \vec{n}$
Ответ: $\vec{AB} = \vec{m} - \vec{n}$

Выражение вектора $\vec{BC}$
Рассмотрим треугольник BOC. По правилу треугольника, вектор $\vec{BC}$ является суммой векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OC}$:
$\vec{BC} = \vec{BO} + \vec{OC}$
Подставим в это равенство известные нам выражения для векторов $\vec{BO}$ и $\vec{OC}$:
$\vec{BC} = \vec{n} + \vec{m}$
Или, поменяв слагаемые местами:
$\vec{BC} = \vec{m} + \vec{n}$
Ответ: $\vec{BC} = \vec{m} + \vec{n}$