Номер 200, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 42). Постройте вектор:

1) $\frac{4}{5}\vec{a}$;

2) $-3\vec{b}$;

3) $\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{a}$.

Рис. 42

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 42). Постройте вектор:

1) $\frac{4}{5}\vec{a}$;
2) $-3\vec{b}$;
3) $\vec{b}-\frac{3}{5}\vec{a}$.

Рис. 42

Для решения задачи сначала определим координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, приняв сторону одной клетки координатной сетки за единицу.

Вектор $\vec{a}$ смещается на 5 клеток вправо и на 4 клетки вверх. Следовательно, его координаты: $\vec{a} = \{5; 4\}$.

Вектор $\vec{b}$ смещается на 3 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Следовательно, его координаты: $\vec{b} = \{3; -2\}$.

1) $\frac{4}{5}\vec{a}$

Чтобы умножить вектор на число, нужно каждую его координату умножить на это число.

$\frac{4}{5}\vec{a} = \frac{4}{5} \cdot \{5; 4\} = \{\frac{4}{5} \cdot 5; \frac{4}{5} \cdot 4\} = \{4; \frac{16}{5}\} = \{4; 3,2\}$.

Для построения этого вектора нужно из произвольной точки отложить 4 единицы вправо по горизонтали и 3,2 единицы вверх по вертикали. Полученный вектор будет сонаправлен вектору $\vec{a}$, а его длина составит $\frac{4}{5}$ длины вектора $\vec{a}$.

Ответ: Вектор с координатами $\{4; 3,2\}$.

2) $-3\vec{b}$

Аналогично первому пункту, умножаем координаты вектора $\vec{b}$ на число -3.

$-3\vec{b} = -3 \cdot \{3; -2\} = \{-3 \cdot 3; -3 \cdot (-2)\} = \{-9; 6\}$.

Для построения этого вектора нужно из произвольной точки отложить 9 единиц влево по горизонтали и 6 единиц вверх по вертикали. Полученный вектор будет направлен в противоположную сторону вектору $\vec{b}$, а его длина будет в 3 раза больше длины вектора $\vec{b}$.

Ответ: Вектор с координатами $\{-9; 6\}$.

3) $\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{a}$

Для нахождения разности векторов нужно из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго. Сначала найдем координаты вектора $\frac{3}{5}\vec{a}$.

$\frac{3}{5}\vec{a} = \frac{3}{5} \cdot \{5; 4\} = \{\frac{3}{5} \cdot 5; \frac{3}{5} \cdot 4\} = \{3; \frac{12}{5}\} = \{3; 2,4\}$.

Теперь выполним вычитание:

$\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{a} = \{3; -2\} - \{3; 2,4\} = \{3 - 3; -2 - 2,4\} = \{0; -4,4\}$.

Для построения можно использовать правило треугольника. Сначала строим вектор $\vec{b}$. Затем из его конца строим вектор $-\frac{3}{5}\vec{a}$, который имеет координаты $\{-3; -2,4\}$. Результирующий вектор соединит начало вектора $\vec{b}$ и конец вектора $-\frac{3}{5}\vec{a}$. Полученный вектор будет направлен вертикально вниз и иметь длину 4,4 единицы.

Ответ: Вектор с координатами $\{0; -4,4\}$.