Номер 199, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Найдите геометрическое место точек $M (x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек $C (5; -6)$ и $D (-1; 2)$ выполняется равенство $\left| \vec{DC} \right| = \left| \vec{MC} \right|$.

199. Найдите геометрическое место точек M $(x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек C $(5; -6)$ и D $(-1; 2)$ выполняется равенство $|\vec{DC}| = |\vec{MC}|$.

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x; y)$, точка $C$ — $(5; -6)$, и точка $D$ — $(-1; 2)$. Условие задачи задается равенством $|\vec{DC}| = |\vec{MC}|$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $M$ до точки $C$ постоянно и равно расстоянию между точками $D$ и $C$. Множество всех таких точек $M$ образует окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $DC$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$ как разность координат конца и начала вектора: $\vec{DC} = (5 - (-1); -6 - 2) = (6; -8)$.

Теперь найдем длину (модуль) вектора $\vec{DC}$ по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$: $|\vec{DC}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Далее найдем координаты вектора $\vec{MC}$: $\vec{MC} = (5 - x; -6 - y)$.

Его длина (модуль) равна: $|\vec{MC}| = \sqrt{(5 - x)^2 + (-6 - y)^2} = \sqrt{(x-5)^2 + (y+6)^2}$.

Согласно условию задачи, приравняем длины векторов: $|\vec{MC}| = |\vec{DC}|$ $\sqrt{(x-5)^2 + (y+6)^2} = 10$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня: $(x-5)^2 + (y+6)^2 = 10^2$ $(x-5)^2 + (y+6)^2 = 100$.

Это каноническое уравнение окружности вида $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$, где $(h; k)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. В нашем случае центр окружности находится в точке $(5; -6)$, что совпадает с координатами точки $C$, а радиус $R = 10$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке $C(5; -6)$ и радиусом 10.

Ответ: Окружность, заданная уравнением $(x-5)^2 + (y+6)^2 = 100$.