Номер 206, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Точки K и P — середины сторон AB и AD параллело- грамма ABCD (рис. 43). Выразите вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{BC} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$.

Рис. 43

206. Точки K и P — середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD (рис. 43). Выразите вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{BC} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$.

Рис. 43

Для выражения вектора $\vec{KP}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ воспользуемся правилом разности векторов, исходящих из одной точки, или правилом треугольника. Выразим вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{AK}$ и $\vec{AP}$:

$\vec{KP} = \vec{AP} - \vec{AK}$

По условию задачи, точки K и P являются серединами сторон AB и AD соответственно. Это означает, что:

$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

Подставим эти выражения в формулу для $\vec{KP}$:

$\vec{KP} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$

Теперь необходимо выразить векторы сторон параллелограмма $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{BC}$ и $\vec{b} = \vec{CD}$.

Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, а значит, соответствующие им векторы равны:

$\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{a}$

$\vec{AB} = \vec{DC}$

Вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$, поэтому:

$\vec{DC} = -\vec{CD} = -\vec{b}$

Следовательно, $\vec{AB} = -\vec{b}$.

Подставим найденные выражения для $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ в формулу для $\vec{KP}$:

$\vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{a} - (-\vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Ответ: $\vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$