Номер 208, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. D — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника MKPF, $MD : DP = 4 : 9$, $KD : DF = 7 : 3$.

Выразите векторы $\vec{MK}$, $\vec{KP}$, $\vec{PF}$ и $\vec{FM}$ через векторы

$\vec{KD} = \vec{m}$ и $\vec{MD} = \vec{p}$.

208. $D$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника $MKPF$, $MD : DP = 4 : 9$, $KD : DF = 7 : 3$.

Выразите векторы $\overrightarrow{MK}$, $\overrightarrow{KP}$, $\overrightarrow{PF}$ и $\overrightarrow{FM}$ через векторы $\overrightarrow{KD} = \vec{m}$ и $\overrightarrow{MD} = \vec{p}$.

Для решения задачи воспользуемся данными из условия и правилами действий с векторами. Нам дано, что $\vec{KD} = \vec{m}$ и $\vec{MD} = \vec{p}$.

Из отношения $MD : DP = 4 : 9$ следует, что векторы $\vec{MD}$ и $\vec{DP}$ коллинеарны и сонаправлены, так как точка $D$ — точка пересечения диагоналей, лежащая между вершинами. Следовательно, мы можем выразить вектор $\vec{DP}$ через $\vec{MD}$: $\vec{DP} = \frac{9}{4}\vec{MD} = \frac{9}{4}\vec{p}$.

Аналогично, из отношения $KD : DF = 7 : 3$ следует, что векторы $\vec{KD}$ и $\vec{DF}$ коллинеарны и сонаправлены. Выразим вектор $\vec{DF}$ через $\vec{KD}$: $\vec{DF} = \frac{3}{7}\vec{KD} = \frac{3}{7}\vec{m}$.

Теперь выразим искомые векторы, используя правило сложения векторов (правило треугольника).

$\vec{MK}$
Вектор $\vec{MK}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{MD}$ и $\vec{DK}$. $\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DK}$. Поскольку $\vec{DK} = -\vec{KD} = -\vec{m}$, получаем: $\vec{MK} = \vec{p} + (-\vec{m}) = \vec{p} - \vec{m}$.
Ответ: $\vec{MK} = \vec{p} - \vec{m}$

$\vec{KP}$
Вектор $\vec{KP}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{KD}$ и $\vec{DP}$. $\vec{KP} = \vec{KD} + \vec{DP}$. Подставляя известные выражения, получаем: $\vec{KP} = \vec{m} + \frac{9}{4}\vec{p}$.
Ответ: $\vec{KP} = \vec{m} + \frac{9}{4}\vec{p}$

$\vec{PF}$
Вектор $\vec{PF}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{PD}$ и $\vec{DF}$. $\vec{PF} = \vec{PD} + \vec{DF}$. Поскольку $\vec{PD} = -\vec{DP} = -\frac{9}{4}\vec{p}$, получаем: $\vec{PF} = -\frac{9}{4}\vec{p} + \frac{3}{7}\vec{m} = \frac{3}{7}\vec{m} - \frac{9}{4}\vec{p}$.
Ответ: $\vec{PF} = \frac{3}{7}\vec{m} - \frac{9}{4}\vec{p}$

$\vec{FM}$
Вектор $\vec{FM}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{FD}$ и $\vec{DM}$. $\vec{FM} = \vec{FD} + \vec{DM}$. Поскольку $\vec{FD} = -\vec{DF} = -\frac{3}{7}\vec{m}$ и $\vec{DM} = -\vec{MD} = -\vec{p}$, получаем: $\vec{FM} = -\frac{3}{7}\vec{m} - \vec{p}$.
Ответ: $\vec{FM} = -\frac{3}{7}\vec{m} - \vec{p}$