Номер 210, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены такие точки E и F, что $AE = \frac{5}{6}AB$, $BF = \frac{2}{3}BC$ (рис. 45). Выразите векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ через векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

210. На сторонах $AB$ и $BC$ параллелограмма $ABCD$ отмечены такие точки $E$ и $F$, что $AE = \frac{5}{6}AB, BF = \frac{2}{3}BC$ (рис. 45). Выразите векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ через векторы $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

Рис. 45

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и определением параллелограмма. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому справедливы следующие векторные равенства: $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BC} = \vec{AD}$.

По условию задачи нам даны базовые векторы: $\vec{DA} = \vec{a}$ и $\vec{DC} = \vec{b}$.

Выразим векторы сторон параллелограмма, которые нам понадобятся, через базовые векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1. $\vec{AB} = \vec{DC} = \vec{b}$

2. $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{a}$. Так как $\vec{BC} = \vec{AD}$, то $\vec{BC} = -\vec{a}$.

Теперь мы можем выразить искомые векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$.

Выражение вектора $\vec{DE}$

Представим вектор $\vec{DE}$ как сумму векторов по правилу треугольника: $\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE}$.

Вектор $\vec{DA}$ нам известен из условия: $\vec{DA} = \vec{a}$.

Вектор $\vec{AE}$ найдем из условия, что точка $E$ лежит на стороне $AB$ и $AE = \frac{5}{6}AB$. Поскольку векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление), то $\vec{AE} = \frac{5}{6}\vec{AB}$.

Заменим $\vec{AB}$ на $\vec{b}$: $\vec{AE} = \frac{5}{6}\vec{b}$.

Теперь подставим полученные выражения в формулу для $\vec{DE}$:

$\vec{DE} = \vec{DA} + \vec{AE} = \vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{DE} = \vec{a} + \frac{5}{6}\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{DF}$

Представим вектор $\vec{DF}$ как сумму векторов, например, по правилу треугольника: $\vec{DF} = \vec{DC} + \vec{CF}$.

Вектор $\vec{DC}$ нам известен из условия: $\vec{DC} = \vec{b}$.

Найдем вектор $\vec{CF}$. По условию, точка $F$ лежит на стороне $BC$ и $BF = \frac{2}{3}BC$. Тогда длина отрезка $CF$ равна $CF = BC - BF = BC - \frac{2}{3}BC = \frac{1}{3}BC$.

Вектор $\vec{CF}$ направлен от точки $C$ к точке $F$, а вектор $\vec{BC}$ — от точки $B$ к точке $C$. Следовательно, эти векторы имеют противоположные направления. Поэтому их связь выражается как $\vec{CF} = -\frac{1}{3}\vec{BC}$.

Ранее мы нашли, что $\vec{BC} = -\vec{a}$. Подставим это в выражение для $\vec{CF}$:

$\vec{CF} = -\frac{1}{3}(-\vec{a}) = \frac{1}{3}\vec{a}$.

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{DC}$ и $\vec{CF}$ в формулу для $\vec{DF}$:

$\vec{DF} = \vec{DC} + \vec{CF} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{a}$.

Для удобства поменяем слагаемые местами: $\vec{DF} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: $\vec{DF} = \frac{1}{3}\vec{a} + \vec{b}$.