Номер 217, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Докажите, что четырёхугольник $MPFK$ с вершинами в точках $M(-2; 3)$, $P(4; 6)$, $F(4; 1)$ и $K(-4; -3)$ является трапецией.

217. Докажите, что четырёхугольник $MPFK$ с вершинами в точках $M (-2; 3)$, $P (4; 6)$, $F (4; 1)$ и $K (-4; -3)$ является трапецией.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Чтобы доказать, что четырехугольник MPFK является трапецией, необходимо проверить параллельность его противоположных сторон. Две прямые на плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Найдем угловые коэффициенты для каждой из сторон четырехугольника MPFK с вершинами в точках M(-2; 3), P(4; 6), F(4; 1) и K(-4; -3).

1. Для стороны MP, проходящей через точки M(-2; 3) и P(4; 6):
$k_{MP} = \frac{6 - 3}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

2. Для стороны FK, проходящей через точки F(4; 1) и K(-4; -3):
$k_{FK} = \frac{-3 - 1}{-4 - 4} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$

Поскольку угловые коэффициенты сторон MP и FK равны ($k_{MP} = k_{FK} = 1/2$), эти стороны параллельны ($MP \parallel FK$).

Теперь проверим две другие противоположные стороны, PF и KM.

3. Для стороны PF, проходящей через точки P(4; 6) и F(4; 1):
$k_{PF} = \frac{1 - 6}{4 - 4} = \frac{-5}{0}$.
Деление на ноль означает, что угловой коэффициент не определен. Прямая PF является вертикальной, так как абсциссы точек P и F одинаковы ($x=4$).

4. Для стороны KM, проходящей через точки K(-4; -3) и M(-2; 3):
$k_{KM} = \frac{3 - (-3)}{-2 - (-4)} = \frac{3 + 3}{-2 + 4} = \frac{6}{2} = 3$

Угловой коэффициент стороны KM равен 3, а сторона PF является вертикальной. Следовательно, стороны PF и KM не параллельны.

Таким образом, в четырехугольнике MPFK есть ровно одна пара параллельных сторон (MP и FK). По определению, такой четырехугольник является трапецией.

Ответ: что и требовалось доказать.