Номер 223, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^{\circ}$, $\left|\vec{a}\right| = \left|\vec{b}\right| = 1$.

Найдите скалярное произведение $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b}).$

223. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.

Найдите скалярное произведение $(3\vec{a}+\vec{b})(\vec{a}-\vec{b})$.

Для нахождения скалярного произведения $(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$ раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$(3\vec{a} + \vec{b})(\vec{a} - \vec{b}) = 3\vec{a} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$. Также скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Упростим выражение:

$3|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2 = 3|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2$

Теперь найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$. По определению, оно равно произведению длин векторов на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(120^\circ)$

Из условия задачи нам известно, что $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$. Косинус 120 градусов равен -0.5:

$\cos(120^\circ) = -0.5$

Тогда:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot (-0.5) = -0.5$

Подставим все известные значения в наше упрощенное выражение:

$3|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot (-0.5) - 1^2 = 3 \cdot 1 - (-1) - 1 = 3 + 1 - 1 = 3$

Ответ: 3