Номер 216, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

216. Найдите координаты вектора $\vec{c}$, коллинеарного вектору $\vec{p}(12; -5)$, если $|\vec{c}| = 26$.

1) $a(6, 8)$,

2) $c(p, n).$

216. Найдите координаты вектора $c$, коллинеарного вектору $\vec{p}(12; -5)$, если $|\vec{c}| = 26$.

По условию, вектор $\vec{c}$ коллинеарен вектору $\vec{p}(12; -5)$.

Условие коллинеарности двух векторов означает, что один вектор можно получить из другого умножением на некоторое число $k$. То есть, существует такое число $k \neq 0$, что выполняется равенство:

$\vec{c} = k \cdot \vec{p}$

Пусть координаты вектора $\vec{c}$ равны $(x_c; y_c)$. Тогда, используя координаты вектора $\vec{p}$, мы можем выразить координаты вектора $\vec{c}$ через $k$:

$(x_c; y_c) = k \cdot (12; -5) = (12k; -5k)$

В задаче также дано, что длина (модуль) вектора $\vec{c}$ равна 26, то есть $|\vec{c}| = 26$.

Длина вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Применим эту формулу для вектора $\vec{c}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{(x_c)^2 + (y_c)^2} = \sqrt{(12k)^2 + (-5k)^2}$

Теперь составим уравнение, подставив известное значение длины вектора $\vec{c}$:

$26 = \sqrt{(12k)^2 + (-5k)^2}$

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$26^2 = (\sqrt{(12k)^2 + (-5k)^2})^2$

$676 = (12k)^2 + (-5k)^2$

$676 = 144k^2 + 25k^2$

$676 = 169k^2$

Найдем $k^2$:

$k^2 = \frac{676}{169}$

$k^2 = 4$

Из этого уравнения следуют два возможных значения для $k$:

$k_1 = \sqrt{4} = 2$

$k_2 = -\sqrt{4} = -2$

Это означает, что существуют два вектора, которые удовлетворяют условиям задачи: один сонаправленный с вектором $\vec{p}$ (при $k > 0$), и другой, направленный противоположно вектору $\vec{p}$ (при $k < 0$).

Найдем координаты вектора $\vec{c}$ для каждого из найденных значений $k$:

1. Если $k = 2$:

$\vec{c}_1 = (12 \cdot 2; -5 \cdot 2) = (24; -10)$

2. Если $k = -2$:

$\vec{c}_2 = (12 \cdot (-2); -5 \cdot (-2)) = (-24; 10)$

Таким образом, мы нашли две пары координат, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $(24; -10)$ или $(-24; 10)$.