Номер 213, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Даны вектор $ \vec{c}(3; -2) $ и точка $ M(-4; 5) $. Найдите координаты такой точки $ F $, чтобы векторы $ \vec{c} $ и $ \vec{FM} $ были противоположными.

213. Даны вектор $\vec{c}(3; -2)$ и точка $M(-4; 5)$. Найдите координаты такой точки $F$, чтобы векторы $\vec{c}$ и $\vec{FM}$ были противоположными.

По определению, два вектора являются противоположными, если их соответствующие координаты являются противоположными числами. То есть, если векторы $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ противоположны, то $x_1 = -x_2$ и $y_1 = -y_2$, что можно записать в виде равенства $\vec{a} = -\vec{b}$.

В нашем случае векторы $\vec{c}(3; -2)$ и $\vec{FM}$ противоположны, следовательно, $\vec{FM} = -\vec{c}$.

Найдем координаты вектора $-\vec{c}$:

$-\vec{c} = (-1 \cdot 3; -1 \cdot (-2)) = (-3; 2)$.

Пусть искомая точка $F$ имеет координаты $(x_F; y_F)$. Координаты точки $M$ даны: $M(-4; 5)$.

Координаты вектора $\vec{FM}$ находятся как разность соответствующих координат его конца (точки $M$) и начала (точки $F$):

$\vec{FM} = (x_M - x_F; y_M - y_F) = (-4 - x_F; 5 - y_F)$.

Так как $\vec{FM} = -\vec{c}$, мы можем приравнять их координаты:

$(-4 - x_F; 5 - y_F) = (-3; 2)$.

Это равенство справедливо, если равны соответствующие координаты векторов. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} -4 - x_F = -3 \\ 5 - y_F = 2 \end{cases} $

Решим полученную систему уравнений:

Из первого уравнения находим $x_F$:

$-x_F = -3 + 4$

$-x_F = 1$

$x_F = -1$

Из второго уравнения находим $y_F$:

$-y_F = 2 - 5$

$-y_F = -3$

$y_F = 3$

Следовательно, координаты точки $F$ равны $(-1; 3)$.

Ответ: $F(-1; 3)$.