Номер 219, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $BC = 4$, $AD = 9$, $M$ — точка пересечения продолжений боковых сторон. Найдите такое число $x$, что:

1) $\overrightarrow{BM} = x \cdot \overrightarrow{AB}$; 2) $\overrightarrow{MC} = x \cdot \overrightarrow{DM}$.

219. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $BC = 4, AD = 9, M$ — точка пересечения продолжений боковых сторон. Найдите такое число $x$, что:

1) $\overrightarrow{BM} = x \cdot \overrightarrow{AB}$;

2) $\overrightarrow{MC} = x \cdot \overrightarrow{DM}$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой основания $BC \parallel AD$. Точка $M$ является точкой пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$. Так как прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а $AM$ и $DM$ — секущие, то образуются равные соответственные углы: $\angle MBC = \angle MAD$ и $\angle MCB = \angle MDA$. Угол при вершине $M$ ($\angle BMC$) является общим для треугольников $\triangle MBC$ и $\triangle MAD$. Следовательно, треугольник $\triangle MBC$ подобен треугольнику $\triangle MAD$ по двум (и, соответственно, трём) углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$: $ k = \frac{MB}{MA} = \frac{MC}{MD} = \frac{BC}{AD} $ Подставив данные из условия задачи $BC = 4$ и $AD = 9$, получаем: $ k = \frac{4}{9} $ Таким образом, мы имеем следующие соотношения: $ \frac{MB}{MA} = \frac{4}{9} $ и $ \frac{MC}{MD} = \frac{4}{9} $

1) $\vec{BM} = x \cdot \vec{AB}$

Точки $A$, $B$ и $M$ лежат на одной прямой, причем точка $B$ находится между $A$ и $M$. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ (направленный от $A$ к $B$) и $\vec{BM}$ (направленный от $B$ к $M$) сонаправлены, а значит, искомое число $x$ будет положительным. Из соотношения $ \frac{MB}{MA} = \frac{4}{9} $ выразим длину отрезка $MB$. Длина отрезка $MA$ равна сумме длин отрезков $MB$ и $AB$, то есть $MA = MB + AB$. Подставим это в пропорцию: $ \frac{MB}{MB + AB} = \frac{4}{9} $ $ 9 \cdot MB = 4 \cdot (MB + AB) $ $ 9 \cdot MB = 4 \cdot MB + 4 \cdot AB $ $ 5 \cdot MB = 4 \cdot AB $ $ MB = \frac{4}{5} AB $ Поскольку векторы $\vec{BM}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены, их длины относятся так же, как и сами векторы: $ \vec{BM} = \frac{4}{5} \vec{AB} $ Сравнивая это выражение с исходным $\vec{BM} = x \cdot \vec{AB}$, находим значение $x$.
Ответ: $x = \frac{4}{5}$.

2) $\vec{MC} = x \cdot \vec{DM}$

Точки $M$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы $\vec{MC}$ и $\vec{DM}$. Вектор $\vec{MC}$ направлен от точки $M$ к точке $C$. Вектор $\vec{DM}$ направлен от точки $D$ к точке $M$. Так как точка $C$ лежит между $M$ и $D$, эти векторы направлены в противоположные стороны. Следовательно, искомое число $x$ будет отрицательным. Из подобия треугольников мы знаем, что $ \frac{MC}{MD} = \frac{4}{9} $. Это означает, что длина вектора $\vec{MC}$ составляет $\frac{4}{9}$ от длины вектора $\vec{MD}$. $ |\vec{MC}| = \frac{4}{9} |\vec{MD}| $ Так как $\vec{MD}$ и $\vec{DM}$ — это один и тот же отрезок, их длины равны: $|\vec{MD}| = |\vec{DM}|$. $ |\vec{MC}| = \frac{4}{9} |\vec{DM}| $ Учитывая, что векторы $\vec{MC}$ и $\vec{DM}$ противоположно направлены, векторное равенство будет выглядеть так: $ \vec{MC} = -\frac{4}{9} \vec{DM} $ Сравнивая это выражение с исходным $\vec{MC} = x \cdot \vec{DM}$, находим значение $x$.
Ответ: $x = -\frac{4}{9}$.