Номер 215, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $ \vec{a}(-6; 8); $

2) $ \vec{c}(p; -k). $

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $\vec{a}(-6; 8);$

2) $\vec{c}(p; -k).$

Чтобы найти координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с данным вектором, необходимо найти единичный вектор (орт) этого вектора. Для этого нужно разделить каждую координату данного вектора на его модуль (длину).

Общая формула для нахождения единичного вектора $\vec{e}$, сонаправленного с вектором $\vec{v}(x, y)$, выглядит так:

$\vec{e} = (\frac{x}{|\vec{v}|}; \frac{y}{|\vec{v}|})$, где $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ - модуль вектора $\vec{v}$.

1) $\vec{a}(-6; 8);$

Сначала найдем модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь найдем координаты искомого вектора, разделив координаты вектора $\vec{a}$ на его модуль:

$(\frac{-6}{10}; \frac{8}{10}) = (-0.6; 0.8)$.

Проверим, что модуль полученного вектора равен 1:

$\sqrt{(-0.6)^2 + (0.8)^2} = \sqrt{0.36 + 0.64} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $(-0.6; 0.8)$.

2) $\vec{c}(p; -k).$

Найдем модуль вектора $\vec{c}$. Предполагается, что вектор $\vec{c}$ не является нулевым, то есть $p$ и $k$ одновременно не равны нулю, чтобы его направление было определено.

$|\vec{c}| = \sqrt{p^2 + (-k)^2} = \sqrt{p^2 + k^2}$.

Разделим каждую координату вектора $\vec{c}$ на его модуль, чтобы найти координаты искомого единичного вектора:

$(\frac{p}{\sqrt{p^2 + k^2}}; \frac{-k}{\sqrt{p^2 + k^2}})$.

Ответ: $(\frac{p}{\sqrt{p^2 + k^2}}; \frac{-k}{\sqrt{p^2 + k^2}})$.