Номер 226, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

226. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(4; -1)$ и $\vec{b}(-6; -8)$.

226. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(4; -1)$ и $\vec{b}(-6; -8)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле, которая связывает скалярное произведение векторов и их длины (модули):

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}(4; -1)$ и $\vec{b}(-6; -8)$. Оно равно сумме произведений соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-6) + (-1) \cdot (-8) = -24 + 8 = -16$.

Далее найдем длины каждого вектора. Длина вектора вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Длина вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

Длина вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Теперь подставим найденные значения скалярного произведения и длин векторов в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{-16}{\sqrt{17} \cdot 10} = -\frac{16}{10\sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$.

Для представления ответа в стандартном виде избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{17}$:

$-\frac{8}{5\sqrt{17}} = -\frac{8 \cdot \sqrt{17}}{5\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{5 \cdot 17} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$.

Ответ: $-\frac{8\sqrt{17}}{85}$.