Номер 231, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору $ \vec{c}(3; -1) $, модуль которого в 2 раза больше модуля вектора $ \vec{c} $.

231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору $\vec{c}(3; -1)$, модуль которого в 2 раза больше модуля вектора $\vec{c}$.

Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{d}(x; y)$.

Согласно условию задачи, вектор $\vec{d}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{c}(3; -1)$. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Выразим это условие в координатах:

$\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$

$3 \cdot x + (-1) \cdot y = 0$

$3x - y = 0$

Из этого уравнения следует, что $y = 3x$. Таким образом, любой вектор, перпендикулярный $\vec{c}$, будет иметь координаты вида $(x; 3x)$.

Далее, по условию, модуль (длина) вектора $\vec{d}$ в 2 раза больше модуля вектора $\vec{c}$. Запишем это в виде формулы:

$|\vec{d}| = 2 \cdot |\vec{c}|$

Сначала найдем модуль вектора $\vec{c}$:

$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Теперь мы можем найти требуемый модуль вектора $\vec{d}$:

$|\vec{d}| = 2 \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

С другой стороны, модуль вектора $\vec{d}(x; 3x)$ можно выразить через его координату $x$:

$|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + (3x)^2} = \sqrt{x^2 + 9x^2} = \sqrt{10x^2} = |x|\sqrt{10}$

Теперь приравняем два полученных выражения для модуля вектора $\vec{d}$:

$|x|\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{10}$:

$|x| = 2$

Это уравнение имеет два возможных решения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие координаты вектора $\vec{d}$ для каждого значения $x$:

1. Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 = 6$. Координаты первого возможного вектора: $(2; 6)$.

2. Если $x = -2$, то $y = 3 \cdot (-2) = -6$. Координаты второго возможного вектора: $(-2; -6)$.

Оба вектора удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $(2; 6)$ или $(-2; -6)$.