Номер 237, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (1; 6)$, $B (5; 10)$, $C (9; 6)$ и $D (5; 2)$ является квадратом.

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (1; 6)$, $B (5; 10)$, $C (9; 6)$ и $D (5; 2)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, нужно показать, что все его стороны равны между собой, а также равны его диагонали.

1. Найдём длины сторон четырёхугольника

Для вычисления расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ используется формула: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин четырёхугольника: A(1; 6), B(5; 10), C(9; 6) и D(5; 2).

Длина стороны AB:

$AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны BC:

$BC = \sqrt{(9 - 5)^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны CD:

$CD = \sqrt{(5 - 9)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны DA:

$DA = \sqrt{(1 - 5)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{32}$, все стороны четырёхугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

2. Найдём длины диагоналей

Теперь вычислим длины диагоналей AC и BD.

Длина диагонали AC:

$AC = \sqrt{(9 - 1)^2 + (6 - 6)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.

Длина диагонали BD:

$BD = \sqrt{(5 - 5)^2 + (2 - 10)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$.

Так как $AC = BD = 8$, диагонали четырёхугольника равны.

Заключение

Мы установили, что четырёхугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны. Ромб, у которого диагонали равны, является квадратом. Следовательно, четырёхугольник ABCD — квадрат. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник ABCD является квадратом, так как длины всех его сторон равны $\sqrt{32}$, а длины его диагоналей равны $8$.