Номер 236, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 3)$, $B (-1; 6)$, $C (5; 4)$ и $D (4; 1)$ является прямо-угольником.

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 3)$, $B (-1; 6)$, $C (5; 4)$ и $D (4; 1)$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, можно показать, что это параллелограмм, у которого есть прямой угол. Воспользуемся для этого векторным методом.

Заданы координаты вершин четырехугольника: $A(-2; 3)$, $B(-1; 6)$, $C(5; 4)$ и $D(4; 1)$.

1. Докажем, что ABCD — параллелограмм.

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы его противолежащих сторон равны. Найдем и сравним векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$. Координаты вектора с началом в точке $(x_1, y_1)$ и концом в точке $(x_2, y_2)$ вычисляются по формуле $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-1 - (-2); 6 - 3) = (1; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$ (обратите внимание на порядок вершин: от D к C):

$\vec{DC} = (5 - 4; 4 - 1) = (1; 3)$.

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ имеют одинаковые координаты, они равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$. Это доказывает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Докажем, что у параллелограмма ABCD есть прямой угол.

Угол между двумя сторонами будет прямым, если соответствующие им векторы перпендикулярны. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Проверим это для смежных сторон AB и AD.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

Вектор $\vec{AB}$ уже найден: $\vec{AB} = (1; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (4 - (-2); 1 - 3) = (6; -2)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot 6 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, а значит, угол между сторонами AB и AD ($\angle DAB$) является прямым.

Вывод:

Мы доказали, что ABCD — это параллелограмм, у которого есть прямой угол ($\angle DAB = 90^\circ$). По определению, такой параллелограмм является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.