Номер 239, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если $ |\vec{a}|=|\vec{b}|=1 $, а векторы $ 3\vec{a}-\vec{b} $ и $ \vec{a}-4\vec{b} $ перпендикулярны.

239. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $3\vec{a}-\vec{b}$ и $\vec{a}-4\vec{b}$ перпендикулярны.

Пусть $\theta$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Косинус этого угла определяется через скалярное произведение по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их модули.

Из условия задачи нам известно:

• $|\vec{a}| = 1$
• $|\vec{b}| = 1$
• Векторы $(3\vec{a} - \vec{b})$ и $(\vec{a} - 4\vec{b})$ перпендикулярны.

Условие перпендикулярности двух ненулевых векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю. Запишем это условие для заданных векторов:

$(3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность):

$3\vec{a} \cdot \vec{a} - 3\vec{a} \cdot (4\vec{b}) - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot (4\vec{b}) = 0$

Упростим выражение, учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$):

$3|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 0$

$3|\vec{a}|^2 - 13(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4|\vec{b}|^2 = 0$

Теперь подставим известные значения модулей $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$ в полученное уравнение:

$3(1)^2 - 13(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4(1)^2 = 0$

$3 - 13(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 4 = 0$

$7 - 13(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

Отсюда найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$13(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{7}{13}$

Наконец, вычислим косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, подставив найденное значение скалярного произведения и известные модули в исходную формулу:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{\frac{7}{13}}{1 \cdot 1} = \frac{7}{13}$

Ответ: $\frac{7}{13}$.