Номер 232, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. Даны векторы $\vec{c}(1; -2)$ и $\vec{d}(3; 1)$. Найдите значение $n$, при котором векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны.

232. Даны векторы $\vec{c}(1; -2)$ и $\vec{d}(3; 1)$. Найдите значение $n$, при котором векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны.

Даны векторы $\vec{c}(1; -2)$ и $\vec{d}(3; 1)$. Два ненулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ будут перпендикулярны, если выполняется условие: $(n\vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{c} = 0$.

Сначала найдем координаты вектора $n\vec{c} + \vec{d}$. 1. Найдем координаты вектора $n\vec{c}$: $n\vec{c} = n(1; -2) = (n \cdot 1; n \cdot (-2)) = (n; -2n)$. 2. Теперь найдем координаты суммы векторов $n\vec{c}$ и $\vec{d}$: $n\vec{c} + \vec{d} = (n; -2n) + (3; 1) = (n+3; -2n+1)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$. Координаты вектора $\vec{c}$ равны $(1; -2)$, а координаты вектора $n\vec{c} + \vec{d}$ равны $(n+3; -2n+1)$. Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$. $(n\vec{c} + \vec{d}) \cdot \vec{c} = (n+3) \cdot 1 + (-2n+1) \cdot (-2) = 0$.

Решим полученное уравнение относительно $n$: $n + 3 - 2(-2n) - 2(1) = 0$ $n + 3 + 4n - 2 = 0$ $5n + 1 = 0$ $5n = -1$ $n = -\frac{1}{5}$ $n = -0.2$

Таким образом, при $n = -0.2$ векторы $n\vec{c} + \vec{d}$ и $\vec{c}$ перпендикулярны.

Ответ: $n = -0.2$.